Dejemos que $K$ sea un campo, y $v:K\rightarrow \mathbb{R}$ sea una valoración, es decir, una función tal que, para todo $x,y\in K$ : $v(x)\geq 0$ , $v(x+y)\leq v(x)+v(y)$ (si $v$ es arquimediano, alternativamente $v(x+y)\geq \min(v(x),v(y))$ ) y $v(xy)=v(x)v(y)$ . Mi pregunta es, ¿hay objetos significativos que salgan de la relajación de alguna de estas condiciones? Me interesaría especialmente saber si se puede relajar a una valoración "super" o "sub" satisfactoria $v(xy)<v(x)v(y)$ o $v(xy)>v(x)v(y)$ .
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user1952009
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La relajación natural es sustituir $\Bbb{R}$ por cualquier grupo abeliano ordenado, por ejemplo $$v(\sum_{n,m} c_{n,m}x^ny^m)=\inf_{n,m,c_{n,m}\ne 0} n+m\epsilon, \qquad v(f/g)=v(f)-v(g)$$ en $\Bbb{Q}(x,y)$ .
El anillo de valoración (elementos con valoración $\ge 0$ ) es $$\Bbb{Q}[x,y]_{(x,y)}+x\Bbb{Q}(y)[x]_{(x)}$$
Otra amplia generalización es la de anillos filtrados (y módulos) . Algunas filtraciones comunes son básicamente valoraciones, excepto que se permite $v(xy) \ge v(y)+v(y)$ .
La teoría es rica. Los conceptos que se pueden buscar son los anillo graduado asociado (módulo, álgebra) o el Condición de Artin-Rees o microlocalizaciones . Bourbaki tiene un capítulo entero sobre filtraciones y graduaciones (capítulo III en Álgebra conmutativa ), otra biblia es https://link.springer.com/book/10.1007/BFb0067331 .
