valor de la norma del mapeo de trazos

Question

1) ¿Cuál es el valor exacto de la norma del mapeo de la traza ${\rm tr} \colon M_n \to \mathbb{C}$ donde equipamos $M_n$ con la norma del operador $\|A\| = \sup\{\|Ax\| : x\in \ell^2_n \mbox{ with }\|x\|= 1\}$ ?

2) Supongamos $1<p<\infty$ . La misma pregunta si sustituimos $M_n$ por el espacio de Schatten de dimensión finita $S^p_n$ .

Observación: si $p=2$ me parece que la norma es $\sqrt{n}$ .

Answer 1

1) El mapa es positivo, por lo tanto $\|tr \|=tr(I)=n$ .

Answer 2

1) Como dijo Zouba $A\mapsto\text{Tr}(A)$ es positivo, por lo que alcanza su norma en la unidad. Así, $\|\text{Tr}\|=n$ .

2) Supongamos que $\|A\|_p\leq1$ . Entonces, en particular $s_j(A)\leq1$ para todos los valores singulares de $A$ . $$ |\text{Tr}(A)|\leq\text{Tr}(|A|)=\sum_{j=1}^ns_j(A)\leq\left(\sum_{j=1}^ns_j(A)^p\right)^{1/p}\,\left(\sum_{j=1}^ns_j(A)^q\right)^{1/q}\leq n^{1/q}. $$ Este límite superior se alcanza cuando $A=n^{-1/p}I$ ya que $\text{Tr}(n^{-1/p}I)=n^{1-1/p}=n^{1/q}$ . Así, $$ \|\text{Tr}\|_p=n^{1-1/p}. $$

En particular, si $p=2$ conseguimos que la norma sea $\sqrt n$ .