Infimo de la transformada de Fourier de la medida singular

Question

Dejemos que $\mu$ sea una medida singular finita no negativa sobre $\mathbf{R}^d$ . Me gustaría saber si existe algún resultado sobre el ínfimo del valor absoluto de su Transformada de Fourier $$\hat{\mu}(t)=\displaystyle\int \mathrm{e}^{2i\pi t\cdot x} ~\mu(dx).$$

Se sabe que no necesariamente tenemos $\hat{\mu}(t)\rightarrow0$ para la medida singular. Pero ¿se tiene como medida de Lebesgue $$\mathrm{inf}~|\hat{\mu}(t)|=0~?$$

Editar : Para ser más precisos, $\mu$ es continua singular, por lo que no tiene una parte discreta ( https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue%27s_decomposition_theorem )

Answer 1

Sí, es cierto. Por el lema de Wiener tenemos $\sum_{x\in \mathbb{R}^d} |\mu(\{x\})|^2 = \lim_{R\to \infty} \frac{1}{(2R)^d} \int_{[-R,R]^{d}} |\widehat{\mu}(t)|^2 dt$ . Si $\mu$ es continua, entonces el lado izquierdo es $0$ por lo que el infimo de $|\widehat{\mu}|$ tiene que ser también cero, ya que el lado derecho está acotado por debajo de este mínimo (al cuadrado).