(Hausdorff ) Espacios localmente convexos y su métrica "natural"

Question

Hoy hemos conocido los espacios localmente convexos, definidos así:

Un espacio vectorial es localmente convexo si tiene una familia de seminormas $(p_i)$ tal que $x=0$ si y sólo si $p_i(x)=0$ para todos $i$ .

El profesor dijo entonces que nos limitaríamos a las familias contables $(p_i)$ e introdujo la siguiente función:

$$d(x, y) = \sum_{n=0}^\infty \frac 1 {2^n} \frac {p_n(x-y)}{1+ p_n(x - y)}$$

Explicó que siempre se trata de una métrica, y la denominó métrica "natural". Naturalmente, a ninguno de nosotros nos pareció tan natural. Esta misma fórmula se encuentra también en Wikipedia .

¿Hay alguna propiedad de esta métrica que la caracterice? ¿Es, por ejemplo, la única métrica que tiene alguna forma de compatibilidad con la familia de seminormas $(p_i)$ ?

Answer 1

La compatibilidad radica en la (tan deseada) propiedad de que una secuencia $x_n$ converge a $x$ para la métrica si converge a $x$ para toda seminorma fija. Como ya se ha mencionado, hay muchas opciones con esa propiedad. La construcción se utiliza (¿sólo?) en espacios donde la topología no permite construir una norma compatible con la topología.

Como mencionó Daniel Fischer en un comentario, hay métricas más naturales como: $$ d(x,y)= \max_n \frac{c_n p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}$$ donde $c_n$ es una secuencia estrictamente positiva que converge a cero. Para esa métrica las bolas $B_r =\{ x: d(0,x)<r \}$ forman una base local convexa y equilibrada para la topología (también absorbente). Con la suma en lugar del máximo las bolas no necesitan ser convexas.

Answer 2

La convexidad local no es realmente la propiedad dada en la pregunta, sino, más bien, que $0$ (por tanto, cada punto del espacio vectorial) tiene una base local formada por conjuntos abiertos convexos. Se trata de una solución no completamente trivial teorema que existe un conjunto de seminormas que dan la topología. (Que una familia "separadora" de seminormas, como en la pregunta, da una topología localmente convexa, es fácil).

Si la colección de seminormas es contable (¡que no es ni mucho menos universal!), entonces la topología es metrizable ... pero no hay una métrica canónica, como han mencionado otros comentarios y respuestas. Esto ilustra el hecho de que el mapa de las "métricas" a las "topologías" es de muchos a uno.

Es decir, esa métrica es no "natural", pero el topología es natural.

Answer 3

La norma o pseudo-norma de Frechet se define a partir de una familia separable de seminormas $\lbrace p_n \rbrace_{n \in \mathbb{N}}$ (es decir $p_n(x)=0$ implica $x=0$ ), y es \begin{align*} \displaystyle \left \| x \right \|:= \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} \frac{p_n(x)}{1+p_n(x)} \end{align*} esta función no define una norma pero satisface las siguientes propiedades

(1). $x=0$ si $\left \| x \right \|=0$

(2). $\left \| - x \right \|=\left \| x \right \|$

(3). $\left \| x+y \right \| \leq \left \| x\right \| + \left \| y \right \|$ .

En particular, la función $d(x,y):=\left \| x-y \right \|$ define una pseudométrica, en el sentido de que $d(x,y)=0$ no implica necesariamente que $x-y = 0$ . Esto es lo único que falta para $d$ es una métrica.

Ahora en un espacio localmente convexo $E$ la familia $\lbrace p_n \rbrace$ define una topología vectorial de Hausdorff, donde la familia de intersecciones finitas \begin{align*} \displaystyle U_{p_1}(\epsilon) \cap \cdot \cdot \cdot \cap U_{p_N}(\epsilon) = \lbrace x\in E: \max \lbrace p_1(x),...,p_N(x)\rbrace < \epsilon \rbrace \end{align*} es una base local $\mathcal{U}$ para esta topología $\mathcal{T}_P$ . Se puede demostrar que la topología definida a partir de la pseudo-métrica $d(x,y)$ es exactamente la topología $\mathcal{T}_P$ : formalmente demuestra $B_d(0,\delta) \subset U$ y $U \subset B_d(0,\delta)$ con $U \in \mathcal{U}$ . En otras palabras, tenemos una condición de "pseudo-metrizabilidad" en la LCS $E$ . Entonces esto nos lleva a la definición de espacio de Fréchet, por lo que si el espacio localmente convexo $E$ es completa con respecto a la pseudométrica o, equivalentemente, si $p_n(x_k - x) \rightarrow 0$ para cada seminorma ( $\forall n \in \mathbb{N}$ ) como $k \rightarrow \infty$ entonces $E$ se dice que el espacio de Fréchet.

Tenga en cuenta que, en general, para LCS $E$ puede definirlos también teniendo en cuenta $\lbrace p_j \rbrace_{j \in J}$ una familia seminormal no necesariamente contable. Aunque esta condición de contabilidad de $\lbrace p_n \rbrace$ supone cuando se considera la pseudo-norma, esto permite también tomar la secuencia creciente $\lbrace p_n \rbrace$ .

Answer 4

Las seminormas definen una topología sobre el espacio vectorial $X$ con sub-base $$V=V(p_i,n)=\{x\in X:p_i(x)<1/n\}.$$

La métrica también define una topología, con base $$U=U(y,n)=\{x\in X:d(y,x)<1/n\},$$ donde $y\in X$ .

La compatibilidad significa que estas dos topologías coinciden, pero $d$ no es única ni natural en ningún sentido.

Answer 5

Mi métrica favorita es $d(x,y)= \sup\lbrace p_n(x-y) \wedge \frac 1n: n\in\mathbb N\rbrace$ donde $a\wedge b =\min\lbrace a,b \rbrace$ .

El nombre espacio localmente convexo tiene razones tradicionales porque en los tiempos de Bourbaki se partía de espacios vectoriales topológicos de los que los localmente convexos son un caso particular como se explica en la respuesta de Paul Garret. Sólo conozco a Helemskii que utiliza el término espacio polinormalizado (tiene un comentario que poliseminado sería lógicamente correcto).

Nunca he visto un ejemplo de un espacio que sea naturalmente un espacio vectorial topológico, pero la convexidad local fue una sorpresa (quizás con la excepción de los subespacios de dimensión finita de los espacios vectoriales topológicos de Hausdorff).