Aplicación de la regla de la cadena multidimensional a $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ .

Question

Dejemos que $\mathscr{U} \subset \mathbb{R}^n$ , $n \in \mathbb{N}$ sea un subconjunto abierto, $f \in \mathcal{C}^2(\mathscr{U}, \mathbb{R})$ . Además, dejemos $\gamma: (- \varepsilon, \varepsilon) \to \mathscr{U}$ sea diferenciable infinitas veces para $\varepsilon > 0$ y $\gamma(0) = a$ y $\gamma'(0) = v \in \mathbb{R}^n$ . Definir $g := f \circ \gamma: (- \varepsilon, \varepsilon) \to \mathbb{R}$ .

Desde $g$ es $\mathbb{R} \supset (- \varepsilon, \varepsilon) \to \mathbb{R}$ su derivado también debería serlo. Quiero aplicar la regla de la cadena unidimensional para obtener $g'$ . Esto da como resultado $$ g'(x) = f'(\gamma(x)) \cdot \gamma'(x). $$ Desde $\gamma': (-\varepsilon, \varepsilon) \to \mathbb{R}^n$ y $f \circ \gamma: (-\varepsilon, \varepsilon) \to \mathbb{R}$ Parece que tengo que componer un número real con un $n$ -vectorial.

Answer 1

La regla de la cadena multidimensional es la siguiente:

Dejemos que $f:\Bbb R^n\to\Bbb R^l$ , $g:\Bbb R^l\to\Bbb R^m$ sea diferenciable. Entonces $h=g\circ f:\Bbb R^n\to\Bbb R^m$ también es diferenciable y $Dh(x)=Dg(f(x))\circ Df(x)$ para todos $x\in\Bbb R^n$ ; donde $D$ denota el operador diferencial .

Esto se puede reescribir como $J_h(x)=J_g(f(x))\cdot J_f(x)$ , donde $J_f=\left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)\right)_{ij}$ denota la matriz de Jacobi de $f$ (o, respectivamente $g,h$ ); y $\cdot$ denota el producto de la matriz.

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Ahora adaptaré su notación: Antes, su $g$ era mi $h$ su $f$ era mi $g$ y su $\gamma$ era mi $f$ .

Tenemos un caso especial de antes. Nótese que la matriz de Jacobi de $f$ consta de una sola fila. A saber, $J_f(x)=(\nabla f) (x)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1} , \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)$ . Además, permítanme escribir $\gamma'(x)=\big(\gamma_1'(x),\dots, \gamma_n'(x)\big)$ .

Con esta notación, $g'(x)=\langle\nabla f(\gamma(x)), \gamma'(x)\rangle$ ; donde $\langle\cdot,\cdot\rangle$ es el producto escalar.

Esto se puede reescribir como \begin{equation}\tag{*}\label{*}g'(x)=\frac{\partial f}{\partial x_1}(\gamma(x)) \cdot \gamma_1'(x) + \dots + \frac{\partial f}{\partial x_n}(\gamma(x)) \cdot \gamma_n'(x).\end{equation}

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Así, si $a$ es un punto crítico de $f$ entonces $g'(0)=\langle\nabla f(a), \gamma'(0)\rangle=\langle0, \gamma'(0)\rangle=0$ .

Se puede encontrar la segunda igualdad diferenciando la expresión \eqref {*} de nuevo.

Answer 2

Información de fondo: Si $F:\mathbb R^m \to \mathbb R^k$ es diferenciable en $x$ entonces $F'(x)$ es un $k \times m$ matriz.

En esta pregunta, $f'(\gamma(x))$ es un $1 \times n$ matriz, y $\gamma'(x)$ es un $n \times 1$ matriz, por lo que las formas son compatibles para la multiplicación de matrices. El producto $f'(\gamma(x)) \cdot \gamma'(x)$ es un $1 \times 1$ matriz o escalar.