Probabilidad de obtener exactamente 2 caras separadas por al menos 1 cola para n lanzamientos

Question

Considere n 3 lanzamientos independientes de una moneda con P(H) = p, 0 p 1. Encuentre la probabilidad de que sólo se observen dos cabezas (pero ni más ni menos) y que estas dos cabezas estén separadas por al menos una cola.

Lo de estar separados por al menos una cola me está haciendo tropezar. No sé cómo plantear el problema. Estoy pensando que tiene algo que ver con la ecuación $$\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)p^k(1-p)^{n-k}$$ No sé si estoy usando la ecuación correcta. ¿Alguien tiene una idea de cómo hacer este problema? Gracias

Answer 1

Sugerencia Intenta pensar así La probabilidad es..:

P ( exactamente 2 cabezas ) -P ( exactamente dos cabezas con las dos cabezas consecutivas )

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Ahora utilizamos las pruebas de Bernoulli (puede leer https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_trial ) .

Ahora la probabilidad de que haya exactamente dos cabezas= $\binom{n}{2}p^2{(1-p)}^{n-2}$

también podemos tomar dos posiciones consecutivas en $n-1$ formas.

así: P( exactamente dos cabezas con las dos cabezas consecutivas )= $(n-1)p^2{(1-p)}^{n-2}$

¿Puedes terminar ahora?

Answer 2

La probabilidad de tener exactamente dos cabezas en un orden determinado es $p^2(1-p)^{n-2}$ . Hay en total ${n \choose 2}$ posibles pedidos sin ninguna restricción. De los cuales, hay $n-1$ órdenes donde se encuentran una tras otra, por lo que hay que restarlas y obtener $$\left({n \choose 2}-(n-1)\right)p^2(1-p)^{n-2}$$