Número de eventos en cualquier intervalo para un proceso de Poisson

Question

Dejemos que $\{N(t),t\geq 0\}$ sea un proceso de Poisson homogéneo con tasa $\lambda$ . $N(t)$ se define como el número de eventos en $(0,t]$ . Desde $N(0)=0$ por definición, podemos concluir que $P\{N(t)=i\}=P\{i \text{ events in }[0,t]\}$ . Entonces, $N(t+s)-N(s)$ es el número de eventos en $(s,s+t]$ que es una variable aleatoria de Poisson con parámetro $\lambda t$ . Desde $P\{N(t+h)-N(t)=1\}=\lambda h+o(h)$ por definición, mi intuición dice que $$P\{N(t+s)-N(s)=i\}=P\{ i \text{ events in } [s,s+t]\}=P\{ i \text{ events in } [s,s+t)\}=P\{ i \text{ events in } (s,s+t)\}. $$

Pregunta 1: ¿Es correcta mi intuición anterior?

Pregunta 2: Si es correcto, ¿cómo podemos demostrarlo con rigor? ¿Puede sugerir una referencia relacionada?

Cualquier ayuda será realmente apreciada. Gracias de antemano.

Answer 1

Su intuición es correcta.

Por construcción, el proceso $(N_t)_{t \ge 0}$ es no decreciente, continua derecha. Además, para cada $t>0$ el límite izquierdo $N_{t-}$ es el número de eventos en $(0,t)$ .

El punto clave es que para cada tiempo fijo $t>0$ , $N_t-N_{t-}$ es $0$ casi seguro. De hecho, como $s \to t-$ , $N_t-N_s \to N_t-N_{t-}$ y esta convergencia casi segura produce una convergencia de la distribución. Por lo tanto, la ley de $N_t-N_{t-}$ es el límite de Poisson( $t-s$ ) como $s \to t-$ , a saber $\delta_0$ .