Minimizar una suma en $\mathbb{R}^3$

Question

La pregunta trata de minimizar las sumas.

Entre todos los vectores unitarios $\vec{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}$ en $\mathbb{R}^3$ , encuentra aquella para la que la suma $x + 5y + 3z$ es mínima.

Cuando veo este problema, pienso en los multiplicadores de Lagrange. Sin embargo, estoy buscando una manera de resolver este problema utilizando métodos de álgebra lineal. Mis pensamientos eran que este problema puede ser algún tipo de proyección, pero no estoy seguro de que estoy entendiendo lo que la minimización de la suma es en realidad. Hay un problema similar a este aquí: Suma mínima de álgebra lineal Pero creo que no estoy entendiendo el razonamiento que se utiliza.

Answer 1

Siguiendo la respuesta que has citado, observa que si $(x,y,z) = \vec{u}$ es un vector unitario, entonces $\left\|\vec{u} \right\| = 1$ o, en otras palabras, $x^2+y^2+z^2=1$ .

Ahora, si $\vec{v} = (1,5,3)$ entonces $\left\|\vec{v} \right\| = \sqrt{35}$ . Observe que $$ x+5y+3z = \vec{u} \cdot \vec{v} = \left\|\vec{u} \right\| \cdot \left\|\vec{v} \right\| \cdot \cos \theta, $$ donde $\theta$ es el ángulo entre $\vec{u}$ y $\vec{v}$ .

Así, minimizar el valor de la suma en el LHS es equivalente a minimizar el valor del producto en el RHS. Pero lo único que varía sobre el producto es $\theta$ . Por lo tanto, el mínimo se produce cuando $\cos \theta = -1$ lo que ocurre cuando $\theta = 180^\circ$ es decir $\vec{v}$ está en la dirección opuesta a $\vec{u}$ . Así, $\vec{v}$ debe ser el reescalado de $\vec{u}$ al tamaño de la unidad, es decir $$ \frac{-\vec{v}}{\left\|\vec{v} \right\|} = \frac{1}{\sqrt{35}}(-1,-5,-3). $$