Supongamos que $\lim_{n\to\infty} a_n = a$ y $\lim _{n\to\infty} b_n = b$ . Prueba $a \leq b$ .

Question

Pregunta:

Dejemos que $(a_n)$ y $(b_n)$ sean secuencias con $a_n b_n,\ n$ . Supongamos que $\lim_{n\to\infty} a_n = a$ y $\lim_{n\to\infty} b_n = b$ . Prueba $a \leq b$ .

[Sugerencia: Supongamos por contradicción que $a > b$ y utilizar la denición de convergencia con $\varepsilon = \frac{a-b}2$ para producir un $n$ con $a_n > b_n$ ]

Mi trabajo:

Por contradicción

Dejemos que $(a_n)$ y $(b_n)$ sean secuencias con $a_n > b_n$

Supongamos que $\lim _{n\to\infty} a_n = a$ y $\lim_{n\to\infty}b_n = b$ .

dejar $\varepsilon=\frac{a-b}2 >0$ hay un número real $N$ de manera que si $n > N$ entonces \begin{align}|a_n+b_n-a-b|&=|a_n-a+b_n-b|\\ &<|a_n-a|+|b_n-b|\\ &=\frac a2+\frac b2\\ &=\varepsilon\end{align}

No estoy seguro de cómo $\varepsilon=\frac{a-b}2$ y cómo puedo mostrar $a > b$ ?

Por favor, ayúdame con eso gracias.

Answer 1

Usted escribió: $$ \underbrace{|a_n+b_n-a-b|=|a_n-a+b_n-b|<|a_n-a|+|b_n-b|=(a/2)+(b/2)=ε}_\text{Some parts of this are wrong.} $$ \begin{align} & |a_n+b_n-a-b| \\[10pt] = {} &|a_n-a+b_n-b| \\[10pt] < {} & |a_n-a|+|b_n-b| & & \longleftarrow \text{This should say “}\le\text{''}. \\[10pt] = {} & \frac a 2 + \frac b 2 & & \longleftarrow \text{This part is completely wrong.} \\[10pt] = {} & ε & & \longleftarrow \text{So is this.} \end{align} Donde tienes $\text{“}= \dfrac a 2 + \dfrac b 2\text{ ''}$ necesitas $\text{“} < \varepsilon+ \varepsilon\text{''}.$ Entonces en la siguiente línea puedes tener $\text{“} = a-b\text{''}.$ Y seguir a partir de ahí.

Answer 2

Dejemos que $t_n=b_n-a_n$ entonces para todos $n$ tenemos $t_n\geq0$ y $$\lim_{n\to\infty} t_n = \lim_{n\to\infty} b_n -a_n= b-a\geq0$$ En caso contrario, si $b-a<0$ , para $\varepsilon=\dfrac{a-b}{2}>0$ existe $N_0$ tal que $|t_n-(b-a)|<\dfrac{a-b}{2}$ para todos $n\geq N_0$ , pero esto muestra $t_n<\dfrac{a-b}{2}+(b-a)=\dfrac{b-a}{2}<0$ contradicción con $t_n\geq0$ para todos $n$ .