Cómo hacer el cambio de variables en esta integral

Question

Utilizando el cambio de variables $t=sx$ para la integral definida única:

$$\Gamma \left( x\right) =\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{x-1}dt$$

qué proceso mágico, en su totalidad, utiliza para llegar a:

$$\Gamma \left( x\right) \sim x^{x}\int _{0}^{\infty }e^{-x\left( s-\log s\right) }\dfrac {ds} {s}$$

Answer 1

Consideramos las variables de integración $s$ y $t$ . La sustitución da como resultado \begin{align*} t&=sx\\ dt&=x ds \end{align*}

Obtenemos \begin{align*} \Gamma(x)&=\int_{0}^{\infty }e^{-t}t^{x-1}dt\\ &=\int_{0}^{\infty }e^{-sx}(sx)^{x-1}xds\\ &=x^x\int_{0}^{\infty }e^{-sx}s^{x}\frac{ds}{s}\\ &=x^x\int_{0}^{\infty }e^{-sx}e^{x\log s}\frac{ds}{s}\\ &=x^x\int_{0}^{\infty }e^{-x(s-\log s)}\frac{ds}{s}\\ \end{align*} y la afirmación es la siguiente.