Encontrar el mínimo de $\frac x {x^2+1} + \frac y{y^2+1} + \frac z{z^2+1}$

Question

Encontrar el mínimo de $$M=\frac x {x^2+1} + \frac y{y^2+1} + \frac z{z^2+1}$$ donde $x,y,z \in \mathbb R\wedge x+y+z=xy+yz+xz$

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He intentado: $$M=\sum \frac 1{x+\frac {1}{x}}\ge \frac 9{\sum{x+\frac 1x}}.$$ $$\text{So, we need to find maximum of } \sum x+ \frac 1x=x+y+z+\frac {x+y+z}{xyz}$$ pero, ¿cómo ?

Answer 1

Si he entendido la pregunta, el mínimo parece ser $-\frac{1}{2}$ con $x=1$,$y=-1$ y $z=-1$.