$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\left((m+1)(m+2) \cdots (m+n)\right)^{\frac{1}{n}}$

Question

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\left((m+1)(m+2) \cdots (m+n)\right)^{\frac{1}{n}}$$

Mi intento: $$A=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\left((m+1)(m+2) \cdots (m+n)\right)^{\frac{1}{n}}$$

Tomando el logaritmo natural obtenemos

$$\ln(A)=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\ln\left(\frac{m+k}{n}\right)$$

Pero no puedo usar la suma de Riemann, ¿alguna idea?

Answer 1

$$A=\frac{1}{n}\big((m+1)(m+2) \cdots (m+n)\big)^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{n}\left(\frac{\Gamma (m+n+1)}{\Gamma (m+1)}\right)^{\frac{1}{n}}$$ Tomar logaritmos $$\log(nA)=\frac{1}{n}\big(\log (\Gamma (m+n+1))- \log (\Gamma (m+1)) \big)$$ Ahora, utilizando el primer término de la aproximación de Stirling para grandes $n$ debes obtener $$\log(nA)=-1+\log(n)+O\left(\frac{1}{n}\right)$$ Continuando con Taylor $$nA=e^{\log(nA)}=\frac n e +\cdots$$

Editar

Si quiere conocer el impacto de $m$ en el resultado, tienes que añadir el siguiente término en la aproximación de Stirling y, utilizando el mismo proceso, deberías obtener $$nA=\frac n e +\frac 1 e \left(\left(m+\frac{1}{2}\right) \log (n)-\log (\Gamma (m+1))+\frac{1}{2} \log (2 \pi ) \right)+O\left(\frac{1}{n^2}\right) $$

Answer 2

Ya casi has llegado $$ \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\log\left(\frac{m+k}{n}\right)=\int_0^1\log(x)\,\mathrm{d}x $$ Los límites son $\int_{m/n}^{1+m/n}$ como $n\to\infty$ .