¿Cómo calcular la transformada de Fourier de una función constante en el grupo simétrico?

Question

Dejemos que $f: \mathcal{S}_n \to \mathbb{C}$ . Definimos la transformada de Fourier de $f$ como la colección de matrices $$ \hat{f}_{\lambda} = \sum_{\sigma \in \mathcal{S}_n} f(\sigma) \rho_{\lambda}(\sigma)$$ indexado por las particiones enteras de $n$ , $\lambda$ , donde $\rho_{\lambda}$ es la representación irreducible de $\mathcal{S}_n$ correspondiente a $\lambda$ . Para el propósito de esta pregunta, nuestra elección del mapa de $\lambda$ a $\rho_{\lambda}$ no importa, y nuestra elección de las matrices de representación no debería importar.

Estoy tratando de calcular la transformada de Fourier de una función constante $f(\sigma)=a$ para algunos $a\in \mathbb{C}$ directamente de la definición .

Creo que he encontrado la transformada de Fourier por ensayo y error. Si $\rho_{\lambda}$ es la representación trivial, entonces

$$ \hat{f}_{\lambda} = \sum_{\sigma \in \mathcal{S}_n} a \cdot [1] = [n!\cdot a]\text{.}$$

y si $\rho_{\lambda}$ es cualquier otra representación, entonces $\hat{f}_{\lambda}$ desaparece. Esto se puede comprobar introduciendo esta conjetura para $\hat{f}$ en la transformada inversa de Fourier.

Me interesa especialmente el caso en el que $\rho_{\lambda}(\sigma)$ son matrices de representación ortogonal de Young. Una nota que encontré en Internet indicaba que el resultado debería derivarse directamente de la propiedad unitaria de estas representaciones matriciales.

Answer 1

Así que primero podemos suponer que $a=1$ ya que se puede sacar de la definición. Por lo tanto, usted está preguntando cuál es la suma $$\alpha_\rho=\sum_{g\in G} \rho(g)$$ es para alguna representación $\rho$ de un grupo finito $G$ . Supongo que $\rho$ es irreducible para empezar, el caso general se deduce de esto.

Si $\rho$ es trivial entonces $\alpha_\rho=|G|\cdot 1$ como usted dice. Supongamos que $\rho$ no es trivial. Si $g\in G$ Entonces, observe que $\alpha_\rho \rho(g)=\alpha_\rho$ . En particular, esto significa que $\alpha_\rho$ se desplaza con $\rho$ por lo que es una matriz escalar $\lambda\cdot I$ por el lema de Schur. Sólo tenemos que determinar qué escalar. Así que toma las trazas. El lado izquierdo es $n\lambda$ , donde $n$ es la dimensión de la representación $\rho$ . El lado derecho es $$\sum_{g\in G}\chi(g),$$ donde $\chi$ es el carácter que ofrece $\rho$ . Esta suma es igual a $\langle \chi,1_G\rangle$ que es cero ya que $\rho$ no es trivial. Así, $\alpha_\rho=0$ si $\rho$ no es trivial.

Para el caso general, $\rho$ es una suma de representaciones irreducibles no triviales--y por lo tanto $\alpha_\rho$ es una matriz bloque-cero, es decir, la matriz cero--y algún número $m$ de representaciones triviales, y cada una aporta un $|G|$ en algún lugar de la diagonal.