Propiedad de los componentes de la ruta

Question

Dejemos que $a=(a_1,\dots, a_k)$ y $b=(b_1,\dots, b_k)$ sean puntos en $k$ -espacio dimensional $\mathbb{R}^k$ . A $\textit{path}$ de $a$ a $b$ es una función continua en el intervalo unitario $[0,1]$ con valores en $\mathbb{R}^k$ una función $X: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^k$ , enviando $t \mapsto X(t)=(x_1(t),\dots, x_k(t))$ , de tal manera que $X(0)=a$ y $X(1)=b.$ Si $S$ es un subconjunto de $\mathbb{R}^k$ y si $a$ y $b$ están en $S$ , defina $a \sim b$ si $a$ y $b$ se pueden unir por un camino que se encuentra enteramente en $S$ .

¿Cómo puedo demostrar que dos puntos en subconjuntos diferentes no pueden estar conectados por un camino en $S$ ?

Answer 1

Supongamos que tenemos $a,b\in S$ y supongamos que $a$ y $b$ no están en el mismo componente del camino. Entonces $a$ y $b$ no están en el mismo $\sim$ -y, por tanto, si existiera un camino en $S$ de $a$ a $b$ entonces tendríamos una contradicción ya que implicaría que $a\sim b$ y así $a$ y $b$ están en el mismo $\sim$ clase de equivalencia. Por lo tanto, no hay ningún camino en $S$ conectando $a$ y $b$ .