¿Por qué la amplitud de una función de onda se propaga desde $q$ a $q'$ gobernado por $e^{-\frac{i}{\hbar}HT}$ ¿operador unitario?

Question

En el libro de texto Teoría Cuántica de Campos por A. Zee, dice:

En la mecánica cuántica, la amplitud de propagación de un punto $q_i$ a un punto $q_f$ en el tiempo $T$ se rige por el operador unitario $e^{\frac{i}{\hbar}HT}$ , donde $H$ es el hamiltoniano.

Me cuesta entender esto. ¿Puede alguien explicar esto en el contexto de la formulación de Dirac y relacionarlo con la ecuación de Schrodinger?

Answer 1

En notación de Dirac, la propagación viene dada por $|q_i\rangle \to |q_f\rangle = e^{-iHT/\hbar}|q_i\rangle$ . Que esta relación obedece a la ecuación de Schrodinger se puede comprobar fácilmente: Definir $|q(t)\rangle = e^{-iHt/\hbar}|q_i\rangle$ , donde $0\le t\le T$ . Entonces, $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|q(t)\rangle = -\frac{i}{\hbar}H |q(t)\rangle $$ (en la derivada, sólo hay que tomar la derivada de la exponencial). Multiplicando esto se obtiene $i\hbar$ da la forma tradicional de la ecuación de Schrondinger $$ i\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|q(t)\rangle = H|q(t)\rangle. $$