¿Por qué $29^2 : 31^2 : 41^2$ tienen una estrecha entero aproximación con números pequeños?

Question

"Todo el mundo sabe" que tales coincidencias como

$$2\times2\times\overbrace{41\times41} = 6724 \approx 6728 = 2\times2\times2\times\overbrace{29\times29}$$

(¿Y por qué me molesto con los dos primeros factores de $2$ en cada lado? Ser paciente.)

se "explica" por el hecho de que $\dfrac{41}{29}$ es convergente en la simple continuación de la fracción de expansión de $\sqrt 2$. y tal vez

$$2\times2\times2\times\overbrace{29\times29} = 6728 \approx 6727 = 7\times\overbrace{31\times31}$$

tiene un similar "explicación", que presumiblemente sería el hecho de que

$$2\times2\times\overbrace{41\times41} = 6724 \approx 6727 = 7\times\overbrace{31\times31}.$$

Hay algunas de esas "explicación" de la proximidad simultánea de todos los tres de estos números el uno al otro?

Answer 1

Creo que es la ley de los pequeños números. Estoy asumiendo que usted quiere distintos triples $x_1,x_2,x_3$ tal que $x_1\approx x_2\approx x_3$ $ax_1^2\approx bx_2^2\approx cx_3^2$ con distintos $a,b,c$. Si es así, el tuyo fue el primero de varios ejemplos y Mathematica encuentra rápidamente,

$$\begin{aligned} 6724&= 4\times41^2\\ 6727&= 7\times31^2\\ 6728&= 8\times29^2\\ \end{aligned}\tag1$$

$$\begin{aligned} 7935 &= 15\times23^2\\ 7938 &= 18\times21^2\\ 7942 &= 22\times19^2\\ \end{aligned}\tag2$$

$$\begin{aligned} 18490&= 10\times43^2\\ 18491&= 11\times41^2\\ 18496&= 16\times34^2\\ \end{aligned}\tag3$$

$$\begin{aligned} 55223&= 23\times49^2\\ 55225&= 25\times47^2\\ 55233&= 17\times57^2\\ \end{aligned}\tag4$$

Y eso es sólo los resultados mediante el uso de ciertos supuestos, como dos de los números de $x_i$ cuadrado son "el doble de los números", me.e $47,49$, que se diferencian por $2$. Más generoso de los supuestos y relajante $x_1-x_2 = 2$ probablemente neto más los resultados.

Answer 2

$$2\times2\times\overbrace{41\times41} = \overbrace{82\times82} \approx 7\times\overbrace{31\times31}.$$

Esto es debido al hecho de que $$\cfrac{82}{31}=2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1}}}}}}$$

es un convergentes de la simple continuación de la fracción de $\sqrt{7}$.

Los dos se pueden combinar para obtener el resultado.

Answer 3

Porque $$\sqrt{2}=\sqrt{\frac{8}{7}}\sqrt{\frac{7}{4}}\approx\frac{31}{29}\times\frac{41}{31}=\frac{41}{29}$$

Podemos agrupar los tres números en una sola expresión $$4+6724\times6728=(6727-1)^2$$ que puede ser escrito como $$\left(\frac{6727-1}{2}\right)^2-\left(\frac{6724}{2}\times\frac{6728}{2}\right)=1 $$ o $$\left(\frac{7\times31^2-1}{2}\right)^2-2\left(2\times 29 \times 41\right)^2=1 $$

Esta es la ecuación de Pell $$X^2-dY^2=1$$

con $X=\frac{7\times31^2-1}{2}$, $Y={2\times29\times41}$ y $d=2$,

de modo que la correspondiente aproximación a $\sqrt{2}$ está dado por $$\sqrt{2}\approx\frac{7\times31^2-1}{4\times29\times41}=\frac{(31\sqrt{7}+1)(31\sqrt{7}-1)}{4\times29\times41}=\frac{3363}{2378}$$ que es la décima convergente de la continuación de la fracción de expansión.

Factorizando el numerador muestra de que la plaza en 6727 está relacionado con $\sqrt{7}$, como en la respuesta por wythagoras.

Un simple ejemplo es dado por

$$\begin{align}98&=2\times7^2\\ 99&=11\times3^2\\ 100&=1\times10^2 \end{align}$$ con $$99^2-98\times100=1$$

y $$\sqrt{2}\approx\frac{11\times3^2}{7\times10}=\frac{99}{70}$$

La aproximación de $\sqrt{2}$ con la sexta convergente explica las plazas de $7$$10$, pero también tenemos $$\sqrt{\frac{11}{1}}\approx\frac{10}{3}$$ y / o $$\sqrt{\frac{11}{2}}\approx\frac{7}{3}$$ para justificar el cuadrado de $3$.

En este ejemplo, la aproximación de $\sqrt{2}$ se puede obtener de forma directa la multiplicación de las aproximaciones para$\sqrt{\frac{2}{11}}$$\sqrt{\frac{1}{11}}$, pero este no es el caso en el ejemplo de la pregunta.

$$\sqrt{2}=11\sqrt{\frac{2}{11}}\sqrt{\frac{1}{11}}\approx11\times\frac{3}{7}\times\frac{3}{10}=\frac{99}{70}$$

Sin embargo, la división de la aproximaciones implícitas por las ecuaciones que involucran número $7$, el convergente $\sqrt{2} \approx \frac{41}{29}$ es obtenido.

$$\sqrt{2}=\sqrt{\frac{8}{7}}\sqrt{\frac{7}{4}}\approx\frac{31}{29}\times\frac{41}{31}=\frac{41}{29}$$