$\newcommand{\angles}[1]{\left\langle\, #1 \,\right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\, #1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, #1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, #1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\pars}[1]{\left(\, #1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large A}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert}$ \begin{align}&\color{#66f}{\large% \int_{0}^{1}\left\lfloor{1 \over x}\right\rfloor^{-1}\,\dd x} =\int_{\infty}^{1}\left\lfloor x\right\rfloor^{-1}\,\pars{-\,{\dd x \over x^{2}}} =\int_{1}^{\infty}{\dd x \over \floor{x}x^{2}} \\[5mm]&=\lim_{N \to \infty}\bracks{% \int_{1}^{2}{\dd x \over x^{2}} + \int_{2}^{3}{\dd x \over 2x^{2}}+\cdots +\int_{N - 1}^{N}{\dd x \over \pars{N - 1}x^{2}}} \\[5mm]&=\lim_{N \to \infty}\bracks{% \int_{0}^{1}{\dd x \over \pars{x + 1}^{2}} + \int_{0}^{1}{\dd x \over 2\pars{x + 2}^{2}} + \cdots +\int_{0}^{1}{\dd x \over \pars{N - 1}\pars{x + N - 1}^{2}}} \\[5mm]&=\lim_{N \to \infty}\int_{0}^{1} \sum_{k = 1}^{N - 1}{1 \over k\pars{x + k}^{2}}\,\dd x =-\lim_{N \to \infty}\int_{0}^{1} \partiald{}{x}\sum_{k = 0}^{N - 2}{1 \over \pars{k + x + 1}\pars{k + 1}}\,\dd x \\[5mm]&=-\int_{0}^{1}\partiald{}{x}\bracks{\Psi\pars{x + 1} - \Psi\pars{1}\over x} \,\dd x =-\bracks{\Psi\pars{2} - \Psi\pars{1} - \Psi'\pars{1}} \\[5mm]&=\Psi'\pars{1} - 1 = \color{#66f}{\Large{\pi^{2} \over 6} - 1} \approx {\tt 0.6449} \end{align}
$\ds{\Psi\pars{z}}$ es la función Digamma y utilizamos las propiedades \begin{align} &\sum_{k = 0}^{\infty}{1 \over \pars{k + \mu}\pars{k + \nu}} = {\Psi\pars{\mu} - \Psi\pars{\nu} \over \mu - \nu}\,,\qquad \begin{array}{|rcl} \ \Psi\pars{z + 1} & = & \Psi\pars{z} + {1 \over z} \\ \Psi'\pars{1} & = & {\pi^{2} \over 6} \end{array} \end{align}
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La razón por la que su partición da una suma superior que converge al valor correcto es bastante obvia por la forma de la función, es decir $f$ tiene la forma de una función de escalera, y el lugar donde la escalera se colapsa es discreto. En otras palabras, como esta función tiene suprema en cada intervalo (casi en todas partes), la integral debe ser el límite de la suma superior. Si quieres seguir la definición de la integral de Riemann, sólo tienes que tomar la modificación de cada entero como - $\left\{ 0,\frac{1}{n},\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{100}}, \frac{1}{n-1}, \cdots\right\}$
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Sus sumas inferiores están "atascadas" bajo un determinado límite (en realidad, el límite es $2-\pi^2/ 6$ ) porque esa partición no "añade el área" que se pierde en el intervalo $[1/2, 1], [1/3,1/2]$ etc. como $n\to \infty$ .