Comprender la definición del motivo de Lefschetz (efectivo puro)

Question

Para todos aquellos que probablemente no tengan respuestas a mis preguntas, proporciono algunas

Antecedentes:

En cierto sentido, los motivos puros son generalizaciones de las variedades proyectivas lisas. Cada Cohomología de Weil factores de la teoría a través de la incrustación de variedades proyectivas lisas en la categoría de motivos puros de Chow .

Motivos puramente efectivos

En la definición de motivos puros (digamos sobre un campo k), el último paso es tomar la categoría de motivos efectivos puros e invertir formalmente el motivo L de Lefschetz.

La categoría de motivos efectivos puros es la sobre pseudo-abeliano de una categoría de clases de correspondencia, que tiene como objetos variedades proyectivas lisas sobre k y como morfismos X → Y ciclo clases en X×Y de dimensión dim X (piénsese que es una generalización de los morfismos, donde se incluyen los morfismos como sus gráficos), donde un relación de equivalencia adecuada se impone, para tener una composición bien definida (de ahí la palabra "clases"). Cuando la relación adecuada es la equivalencia racional, la categoría resultante se llama categoría de motivos efectivos puros de Chow.
En cada paso de la construcción, la estructura monoidal de un paso define una estructura monoidal en el siguiente paso.

Para más información, véase la pregunta de Ilya sobre el yoga de los motivos .

Definición del motivo Lefschetz

El motivo de Lefschetz L se define como sigue:

Para cada punto p en P¹ (espacio proyectivo unidimensional sobre k), existe el morfismo de incrustación Spec k → P¹, que puede componerse con el morfismo estructural P¹ → Spec k para producir un endomorfismo de P¹. Este es un idempotente, ya que la otra composición Spec k → Spec k es la identidad.
La categoría de motivos puros efectivos es pseudo-abeliana, por lo que todo idempotente tiene un núcleo y, por tanto, [P¹] = [Spec k] + [algo] =: 1+L, donde el sumando [algo] se llama ahora motivo de Lefschetz L.

Propiedades

La definición de L no depende de la elección del punto p.

De nLab y Leçons de Kahn Aprendí que la inversión del motivo de Lefschetz es lo que hace que la categoría monoidal resultante sea una categoría monoidal rígida - mientras que la categoría de motivos puramente efectivos no es necesariamente rígida.

En la categoría de motivos puros, el inverso $L^{-1}$ se llama T, el motivo Tate.

Preguntas:

Estas preguntas están relacionadas de alguna manera entre sí:

1. ¿Por qué este motivo L se llama "Lefschetz"?
2. ¿Por qué su inversa $L^{-1}$ ¿se llama "Tate"?
3. ¿Por qué es precisamente esta construcción la que "rigidiza" la categoría?
4. ¿Funcionaría también otra construcción, o se trata de algo universal?
5. ¿Cómo debo pensar en L geométricamente?

No tengo casi ninguna formación en teoría de números, así que aunque tengas buenas respuestas, puede que no me quede nada claro, por qué interviene el nombre "Tate". Sin embargo, supongo que el nombre "Lefschetz" tiene algo que ver con la fórmula de la traza de Lefschetz. Supongo que el procedimiento de invertir L es el único que hace que la categoría sea rígida, de alguna manera universal, pero no tengo ni idea de por qué. Además, supongo que no hay una imagen "geométrica" de L.

Si he cometido algún error en la sección de antecedentes, no dudes en editarlo. Como actualmente estoy haciendo un primer curso sobre motivos, puede que ahora haya preguntado algo completamente estúpido. Si es así, por favor, indíqueme amablemente algún documento que me ilumine o, al menos, me permita ascender a un nivel superior de confusión.

ACTUALIZACIÓN: Gracias hasta ahora por las respuestas, las preguntas 1 a 4 ya las tengo claras. Queda por saber si la "rigidificación" podría realizarse mediante otra construcción -¿quizás alguna forma universal de convertir una categoría monoidal en rígida? Entonces uno podría identificar más tarde el motivo de Lefschetz como una especie de generador del núcleo del functor de rigidificación.
La intuición geométrica, pensar en L como una curva y en $L^{\otimes d}$ como una variedad d-dimensional, sigue siendo difusa, pero tengo la esperanza de que esto se aclare cuando haya trabajado un poco en los teoremas clásicos de Lefschetz/Poincare y en la demostración de las conjeturas de Weil para la cohomología de Betti (¿está justificada esta esperanza?).

Answer 1

El motivo $L$ se llama Lefschetz porque es la clase de ciclo del punto en ${\mathbb P}^1$ y por lo tanto subyace (en cierto sentido) los teoremas de Lefschetz sobre la cohomología de variedades proyectivas. Para entenderlo mejor, tal vez quieras leer cómo el teorema de Lefschetz duro para variedades sobre campos finitos se deriva de la hipótesis de Riemann, así como una discusión de las conjeturas estándar de Grothendieck y cómo se relacionan con las conjeturas de Weil de Weil.

El motvie $L^{-1}$ cuando se convierte en un $\ell$ -de Galois, es precisamente la $\ell$ -módulo de Tate de las raíces de la unidad. La tensorización mediante esta representación de Galois se denomina tradicionalmente torsión de Tate, por lo que el motivo subyacente a esta representación de Galois se denomina motivo de Tate.

Hay que tener $L^{-1}$ a mano para que la categoría admita duales.

Si se trabajara sólo con la cohomología singular habitual, esto no sería necesario; la dualidad de Poincare emparejaría $H^i$ con $H^{\text{top}-i}$ en $H^{\text{top}}$ que sería isomorfo con ${\mathbb Q}$ a través de la clase fundamental.

Pero motivadamente, si $X$ (liso, conexo, proyectivo) tiene dimensión $d$ para que la dimensión superior sea $2d$ entonces $H^{\text{top}} = L^{\otimes d}$ y así $H^i$ y $H^{2d-i}$ par en $L^{\otimes d}$ . Para conseguir un emparejamiento en $\mathbb Q$ (el motivo trivial 1-dim'l) necesitamos para poder tensor por potencias de $L^{-1}$ . Tradicionalmente, el tensado por el $n$ potencia tensorial de $L^{-1}$ se denota $(n)$ por lo que encontramos, por ejemplo, que $H^i$ se empareja con $H^{2d -i}(d)$ en ${\mathbb Q}$ Y nosotros tenemos nuestra dualidad.

Se puede ver por el hecho de que el producto taza empareja la cohomología en potencias de $L$ que invirtiendo $L$ es precisamente lo que se necesita para obtener duales.

Por último, hay que pensar en $L$ como la clase fundamental de una curva, piense en $L^{\otimes d}$ como la clase fundamental de un proyectivo suave $d$ -dimensional y también se sentirá cómodo con la dualidad de Poincare y los teoremas de Lefschetz; Estas son las ideas básicas que ayudarán a dar un sólido sentido geométrico a las construcciones motivas.

Answer 2

Permítanme hacer un comentario sobre la pregunta número 3: ¿por qué tenemos que invertir $\mathbb L$ para conseguir una categoría rígida?

Nótese que la categoría formada por sumas directas de potencias de $\mathbb L$ es equivalente a la categoría de espacios vectoriales de grado no negativo sobre $\mathbb Q$ (si trabajamos con $\mathbb Q$ - coeficientes), con $\mathbb L$ correspondiente a $\mathbf Q[1]$ un espacio vectorial unidimensional de grado 1. La equivalencia viene dada por $CH^*$ (grupos de Chow).

El hecho de que sea una equivalencia se deduce del hecho de que $Hom(\mathbb L^i, \mathbb L^j) = \mathbb Q$ si $i=j$ y 0 en caso contrario.

Ahora para hacer una categoría rígida de los espacios vectoriales de grado no negativo debemos incluir todos $\mathbb Z$ -espacios graduados, por lo que $\mathbb Q[1]$ es dual con $\mathbb Q[-1]$ . Esto corresponde a la inversión de $\mathbb L$ .

Y una vez que invertimos $\mathbb L$ efectivamente obtenemos una categoría rígida, como explicó Matt Emerton: el dual a $M(X)$ es $M(X)(-dim X)$ (Creo que el signo menos o no depende de las definiciones).

En cuanto a la pregunta de cómo pensamos en $\mathbb L$ la imagen es que la descomposición $M(\mathbb P^1) = 1 \oplus \mathbb L$ corresponde a la descomposición celular de $\mathbb P^1$ en la unión disjunta de un punto y una línea. Esto se generaliza a cualquier variedad que admita la descomposición celular (los grassmanianos y los cuádricos, por ejemplo): sus motivos son sumas de motivos de Lefschetz, un sumando $L^d$ representa cada celda de dimensiones d.

Answer 3

Creo que el nombre L se elige porque corresponde al "operador L" de la "antigua geometría algebraica" sobre los números complejos (y que a su vez se llama L, estoy de acuerdo, probablemente en honor a Lefschetz). No sé qué notación utilizó el propio Lefschetz, pero por ejemplo el libro de Griffiths-Harris "Principles of Algebraic Geometry" introduce este operador L en la página 111 en el entorno deRham. También como el operador clave para la descomposición de Lefschetz/Hard Lefschetz.

En todo el libro no se hace referencia a los motivos ni a las conjeturas de Weil, sino que se trata de un asunto de colectores complejos. Así que, sólo como una sugerencia de lectura, si quieres leer sobre el tema en un nivel elemental.

Tal vez este sea un punto de partida más fácil que las cosas sobre campos finitos, etc., aunque hay que reconocer que tal vez no sea muy sexy.

El operador L aquí se acuña con la forma de Kähler, y eso sería sólo una forma explícita (1,1) que representa el punto en P1.

(por representar me refiero a que representa la clase de ciclo Chow -> deRham del punto a través de una forma diferencial dada explícitamente - y que debería reducirse a representar el "motivo" de la misma)

Answer 4

Un poco más sobre las preguntas 3 y 4.

La propiedad básica del motivo de Lefschetz (en este aspecto) es el Teorema de Cancelación: $Hom(X,Y)\cong Hom(X\otimes L,Y\otimes L)$ para cualquier motivo efectivo X e Y. Si no se tiene esta propiedad para un objeto, entonces invertirlo es una operación "mala": el functor de la categoría "vieja" a la "nueva" está muy lejos de ser una incrustación completa.

Por lo tanto, no se debe invertir ninguna L si no satisface el teorema de la cancelación. Si lo hace, entonces su imagen en los motivos de Chow ("habituales") es invertible (con respecto al producto tensorial). Conjeturalmente, cualquier motivo de Chow invertible es de la forma $M(n)$ donde $M$ es un motivo (efectivo) de dimensión cero que se convierte en isomorfo a 1 después de una extensión del campo base finito.

Obtenemos: hay cierta flexibilidad en la elección de un motivo que se quiere invertir, pero dan el mismo resultado. No sé cómo definir el "rigidizador universal" para una categoría tensorial; probablemente no existe una construcción de este tipo que sea lo suficientemente bonita.