Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo con unidad. $r$ es una unidad no nula en $R$ . Entonces $R[X]/(rX)$ no es plana como una $R$ álgebra si $R$ es un dominio integral. Pero qué podemos decir si $R$ no es un dominio integral?
EDITAR: Considerar un campo $k$ y $R=k \oplus k$ equipado con la estructura de anillo natural. Sea $r=(1,0)$ . Entonces $R[X]/(rX) = k[X] \oplus k$ que es proyectiva sobre $R$ . ¿Funciona este ejemplo?
Bueno, yo interpreto que estás buscando un anillo que no sea un dominio y que tenga un cociente por un ideal principal que es plana.
...que es proyectiva sobre $R$ . ¿Funciona este ejemplo?
Sí, es proyectiva, al menos porque $k$ es proyectiva como un $R$ ( como un sumando de $R$ ), y $k[X]$ es proyectiva (como sumando directo de la libre $R$ módulo $R[X]$ ), así como su producto $k\times k[X]$ .
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