¿Son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, donde $a$ y $b$ son enteros positivos y $p$ ¿es primo? En cada caso, da una prueba o un contraejemplo:
(b) Si $\gcd(a,p^2)=p$ y $\gcd(b,p^2)=p^2$ entonces $\gcd(ab,p^4)=p^3$ .
(d) Si $\gcd(a,p^2)=p$ entonces $\gcd(a+p,p^2)=p$ .(b) No: tomar $a=p$ y $b=p^3$ .
(d) No: tomar $a=p=2$ .
(b) $\gcd(\color{brown}{a}, \color{seagreen}{p^2}) = p \implies p|a \implies \color{brown}{pk_1=a} $ para algún número entero $k_1$ . $\; p|\color{seagreen}{p^2}$ siempre es cierto, olvídalo.
$\gcd(\color{brown}{b}, \color{seagreen}{p^2}) = p^2 \implies p^2|b \implies \color{brown}{p^2k_2=b} $ para algún número entero $k_2$ . $\; p^2|\color{seagreen}{p^2}$ siempre es cierto, olvídalo.
(1) A continuación, $\gcd(\color{brown}{ab},p^4) = \gcd(\color{brown}{pk_1 \cdot p^2k_2}, p^4)$ . ¿Y ahora qué?
(d) Exactamente igual que la parte (b), $\gcd(\color{brown}{a}, \color{seagreen}{p^2}) = p$ se postula. $\gcd(a+p,p^2) = p$ se postula, pero $\gcd(a+p,p^2) = p \iff p|(a + p)$ .
(2) A continuación, $\gcd(\color{brown}{a}+p,p^2) = \gcd(\color{brown}{pk_1} + p, p^2)$ ¿Y ahora qué?
(3) En la respuesta de Bill Dubuque, por qué $\color{blue}{p\nmid \bar a}$ ?
Origen - Teoría elemental de los números - Jones - p24 - Ejercicio 2.3
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