Si $\alpha \in E$ es algebraico sobre a $F$ y $E = F(\alpha)$ entonces $E$ es una extensión algebraica.

Question

Esto parece que debería ser sencillo, pero no sé cómo mostrarlo. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Si $\alpha\in E$ es algebraico sobre $F$ entonces $[F(\alpha):F]=\deg(\mu_\alpha)<+\infty$ , donde $\mu_{\alpha}$ es el polinomio mínimo de $\alpha$ en $F$ . Por lo tanto, si $E=F(\alpha)$ entonces $E/F$ es de dimensión finita, por lo que es algebraico.

Si quieres justificar la igualdad $[F(\alpha):F]=\deg(\mu_\alpha)$ , fíjese que $F[\alpha]\cong F[X]/(\mu_\alpha)$ . En efecto, utiliza el primer teorema de isomorfismo para anillos aplicado al mapa de evaluación $f\mapsto f(a)$ . Además, $F[\alpha]=F(\alpha)$ ya que $\mu_{\alpha}$ siendo irreducible sobre $F$ implica que $F[\alpha]$ es un campo.

Si no está convencido de que $\mu_\alpha$ es irreducible sobre $F$ , proceda por contradicción. En caso contrario, existe $(P,Q)\in F[X]^2$ con $\deg(P),\deg(Q)\geqslant 1$ tal que $\mu_{\alpha}=PQ$ . En particular, $P(\alpha)Q(\alpha)=0$ y $F$ siendo un campo, sin pérdida de generalidad se puede suponer que $P(\alpha)=0$ . Por lo tanto, por definición, $P\in\{f\in F[X]\textrm{ s.t. }f(\alpha)=0\}=(\mu_{\alpha})$ lo cual es una contradicción, ya que $Q$ tiene un grado de al menos $1$ .

Si te preguntas por qué una extensión dimensional finita $E/F$ es algebraico, dejemos que $x\in E$ y observe que $\{1,x,\cdots,x^{[E:F]}\}$ contiene más elementos que la dimensión de $E/F$ y por lo tanto es $F$ -vinculado. Esto significa que existe un $P\in F[X]$ tal que $P(x)=0$ .

Answer 2

Desde $F(\alpha)$ es una extensión finita de $F$ (véanse las respuestas de C. Falcon y ajotatxe), basta con demostrar que las extensiones finitas son algebraicas.

Supongamos que $[E:F] = n < \infty $ . Sea $x \in E$ . Desde $E$ es un espacio vectorial sobre $F$ de dimensión $n$ cualquier colección de $n+1$ elementos de $E$ son linealmente dependientes sobre $F$ . Por lo tanto, el conjunto $\{1,x,\dots,x^n\}$ depende linealmente de $F$ . Es decir, existe $a_0,a_1,\dots a_n \in F$ (al menos uno de los $a_i \neq 0$ ) tal que $$a_0 + a_1x + \dots a_nx^n = 0. $$

Así, $x$ es algebraico sobre $F$ . Desde $x$ fue elegido arbitrariamente en $E$ , $E$ es una extensión algebraica de $F$ .

Answer 3

Desde $\alpha$ es algebraico, hay algún tipo de no cero $P\in F[x]$ tal que $P(\alpha)=0$ . Entonces $\{1,\alpha,\ldots, \alpha^n\}$ (donde $n$ es el grado de $P$ ) es un conjunto finito linealmente dependiente en el $F$ -espacio vectorial $E$ .

La dimensión real de $E$ es el grado del polinomio mínimo de $\alpha$ que debe dividir $P$ .