¿Intuición detrás de la relación Eichler-Shimura?

Question

La curva modular $X_0(N)$ tiene una buena reducción en todos los primos $p$ no dividir $N$ . En dicho primo, la relación Eichler-Shimura expresa el operador de Hecke $T_p$ (como elemento del anillo de correspondencias en los puntos de $X_0(N)$ en $\overline{ \mathbb{F}_p }$ ) en términos del mapa geométrico de Frobenius. Esto ya es bastante extraño; las definiciones de los operadores de Hecke con las que estoy familiarizado no dan ninguna indicación de que esa relación deba ser cierta, y las fuentes que he leído hasta ahora no dan ninguna intuición de por qué esa relación debe ser cierta. (De hecho, todavía no me siento muy cómodo con los propios operadores de Hecke; la definición que más me gusta hasta ahora es la que da Milne, pero cualquier definición alternativa esclarecedora será bienvenida si arroja luz sobre la cuestión).

Lo que es mucho más extraño, para mí, es un corolario importante de la relación Eichler-Shimura, que dice que dada una eigenforma de cúspide $f$ de peso $2$ con respecto a $\Gamma_0(N)$ es posible construir una curva elíptica $E_f$ cuya función L es (más o menos) la transformada de Mellin de $f$ .

Hay varias razones por las que esto me resulta extraño, pero aquí hay una en concreto. La forma modular $f$ satisface una ecuación funcional más o menos por definición. Por lo tanto, su transformada de Mellin satisface una ecuación funcional correspondiente (parte de la cual ha sido absorbida en el hecho de que $f$ se escribe en términos de sus coeficientes de Fourier), de nuevo más o menos por definición. La función zeta de una curva elíptica, sin embargo, satisface una ecuación funcional porque ( o eso me han dicho ) de la dualidad de Poincaré en la cohomología étale. Entonces:

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¿Qué tiene que ver la dualidad de Poincaré con la simetría modular?

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(Ignora lo anterior; parece que he vuelto a confundir las ecuaciones funcionales locales y globales).

Una de las muchas cosas extrañas de lo anterior es que la función L de una curva elíptica tiene naturalmente un producto de Euler, pero para las formas modulares el producto de Euler para la transformada de Mellin se produce debido a ciertas propiedades de los operadores de Hecke (que, de nuevo, no entiendo muy bien conceptualmente). ¿Qué tienen que ver estas propiedades con la multiplicación de funciones zeta locales?

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Supongo que también debería aclarar lo que entiendo por "intuición":

Para la primera parte de la pregunta, si algo en la definición de los operadores de Hecke sugiere que deberían estar relacionados con el mapa de Frobenius si ciertas cosas naturales fueran ciertas, y la prueba de Eichler-Shimura (que aún no he mirado bien...) consiste en verificar que esas cosas naturales son ciertas, sería una gran intuición. Agradecería una respuesta que me dijera si esto es así o no en términos de "primeros principios".

Para la segunda parte de la pregunta, la intuición podría provenir de forma más natural de una perspectiva más sofisticada. En cambio, agradecería una respuesta sobre el "panorama general", que diera una vaga idea de alto nivel de cómo todo esto encaja en cosas más generales que la gente conoce sobre las formas automórficas y demás.

Answer 1

(1) Respuesta breve a la primera pregunta: $T_p$ se trata de $p$ -isogenias, y en char. $p$ hay una canónica $p$ -isogenia, es decir, Frobenius.

Detalles:

La correspondencia de Hecke $T_p$ tiene la siguiente definición, en términos modulares: Sea $(E,C)$ sea un punto de $X_0(N)$ es decir, una curva modular junto con un subgrupo cíclico de orden $N$ . Ahora $T_p$ (para $p$ no dividir $N$ ) es una correspondencia (función multivaluada) que mapea $(E,C)$ a $\sum_D (E/D, (C+D)/D)$ , donde $D$ recorre todos los subgrupos de $E$ de grado $p$ . (Hay $p+1$ de estos).

Aquí hay otra forma de escribir esto, que funcionará mejor en char. $p$ : mapa $(E,C)$ a $\sum_{\phi:E \rightarrow E'}(E',\phi(C)),$ donde la suma es sobre todos los grados $p$ isogenias $\phi:E\rightarrow E'.$ Dar un título $p$ isogenia en char. 0 es lo mismo que elegir un subgrupo de orden $D$ de $E$ (su núcleo), pero en char. $p$ el núcleo de una isogenia puede ser un esquema de subgrupos no reducido y por lo tanto no tiene puntos, y por lo tanto no puede ser descrito simplemente en términos de subgrupos de puntos. Por lo tanto, esta última descripción es la mejor para calcular la reducción de la correspondencia $T_p$ mod $p$ .

Ahora bien, si $E$ es una curva elíptica en char. $p$ , cualquier $p$ -isogenia $E \to E'$ es Frobenius $Fr$ o la isogenia dual a Frobenius (a menudo llamada Vershiebung). Ahora Frobenius toma una curva elíptica $E$ con $j$ -invariante $j$ a la curva elíptica $E^{(p)}$ con $j$ -invariante $j^p$ . Así que la correspondencia sobre $X_0(N)$ en el carbón. $p$ que mapea $(E,C)$ a $(E^{(p)}, Fr(C))$ es a su vez la correspondencia de Frobenius en $X_0(N)$ . Y la correspondencia que mapea $(E,C)$ a su imagen bajo el dual de Frobenius es la transposición a Frobenius (se intercambian el dominio y el codominio). Dado que no hay otros $p$ -isogenias en char. $p$ vemos que $T_p$ mod $p = Fr + Fr'$ como correspondencias en $X_0(N)$ en el carbón. $p$ ; esta es la relación Eichler--Shimura.

(2) Nótese que sólo las eigenformas de peso 2 con valores propios racionales de Hecke dan curvas elípticas; las eigenformas más generales dan variedades abelianas.

Un cálculo sencillo muestra que si $f$ es una eigenforma de Hecke, que la $L$ -función $L(f,s)$ obtenido por la transformada de Mellin, tiene un producto de Euler de grado 2. Una respuesta más conceptual probablemente implicaría describir cómo las representaciones automórficas como producto tensorial de factores locales, pero ese es un tema muy diferente al de Eichler--Shimura, y no diré más aquí.

Answer 2

Permítanme destacar algunas cuestiones que Emerton no hace:

1) pareces insinuar que no sabes que las formas modulares pueden verse como un producto de un montón de términos locales. Así que hay una historia adelica, donde GL_2(R)/GL_2(Z) se sustituye por GL_2(adeles)/GL_2(Q), y en esa historia los operadores de Hecke son objetos totalmente locales, cada uno con su propio factor de Euler local en una forma propia, etc. Tal vez si conocieras esta historia algunas cosas estarían más claras -por ejemplo, una forma modular realmente tiene un "factor local en p" para p un primo, ¡pero es una representación de dimensión infinita de GL_2(Q_p)!

2) la historia "general" de Eichler-Shimura, como estoy seguro de haber escrito en este foro antes en alguna parte, es que Langlands, hace mucho tiempo, hizo conjeturas sobre cómo la cohomología de una clase muy general de variedades de Shimura puede explicarse completamente usando formas automórficas, pero las conjeturas en toda su generalidad son muy difíciles de explicar y tienen muchas sutilezas (procedentes de la endoscopia, la no compacidad en el infinito, cuestiones de multiplicidad y así sucesivamente). En el caso de las curvas modulares, las conjeturas se reducen a la afirmación de que, hablando vagamente, el módulo de Tate del jacobiano de una curva modular compacta X_0(N) debería dividirse en trozos bidimensionales, cada uno de ellos explicado por una eigenforma de peso 2 y nivel N. Pero hay un montón de cosas construidas en secreto: estás usando X_0(N) en lugar de Y_0(N), estás asumiendo que la "multiplicidad 1" se mantiene para las formas de cúspide en GL_2, lo cual es un teorema de Jacquet y Langlands, etc. Una vez que asumes todo esto, la relación precisa entre las piezas y las formas modulares te la da Eichler-Shimura. Si lo miras de esta manera, puedes empezar a adivinar cómo podría ser, por ejemplo, el H^3 de la variedad modular de Siegel que parametriza superficies abelianas polarizadas por el príncipe, pero tu suposición podría ser errónea, porque ahora la endoscopia y el fracaso de la multiplicidad 1 y las cuestiones relacionadas con la compactificación empiezan a asomar sus feas cabezas de una manera menos trivial. De alguna manera hay cientos de páginas de Corvallis dedicadas a este tipo de cosas, y una cosa que Clozel, Harris, Taylor y sus colaboradores han hecho en los últimos años es resolver completamente estas cuestiones en el caso de los grupos unitarios cuando la variedad Shimura es compacta. Las conjeturas de Langlands son más fuertes que, pero implican, una correspondencia generalizada Eichler-Shimura en este entorno, y probablemente el enfoque de Matt que implica considerar las correspondencias en char p también dará algunas ideas sobre cuál debería ser la afirmación precisa. Pero mi sensación es que es realmente difícil explicar el panorama general sin mucho trabajo en el momento en que uno sale de GL_2. Si quieres leer sobre otro caso que no sea el de las formas modulares clásicas, quizás el siguiente caso más fácil sea el de las formas modulares de Hilbert. Buena suerte.

3) Un buen lugar para leer sobre Eichler-Shimura para GL_2/Q es el apéndice de Conrad a "lectures on Serre's Conjectures" de Ribet-Stein.