Resolver $\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\sqrt[3]{\sin x}}{4-\sin^2 x}dx$

Question

$$\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\sqrt[3]{\sin x}}{4-\sin^2 x}dx$$

He probado muchos métodos elementales para resolver la integral anterior pero no avanza. Se agradece cualquier método de elemental a avanzado.

Answer 1

Sugerencia . Se puede escribir $$ \frac{\sqrt[3]{\sin x}}{4-\sin^2 x}=\frac14\sum_{n=0}^\infty\frac1{4^n}\left(\sin x\right)^{2n+\frac13} $$ entonces se puede realizar una integración por términos $$ \int_0^{\Large \frac{\pi}2}\frac{\sqrt[3]{\sin x}}{4-\sin^2 x}\,dx=\sum_{n=0}^\infty\frac1{4^{n+1}}\int_0^{\Large \frac{\pi}2}\left(\sin x\right)^{2n+\frac13}\,dx $$ utilizando la clásica evaluación de Euler $$ \int_0^{\Large \frac{\pi}2}\left(\sin x\right)^s\,dx=\frac{\sqrt{\pi} \,\Gamma \left(\frac{s+1}{2}\right)}{2\, \Gamma \left(\frac{s}{2}+1\right)},\qquad s>0, $$ obteniendo

$$ \int_0^{\Large \frac{\pi}2}\frac{\sqrt[3]{\sin x}}{4-\sin^2 x}\,dx=\frac{3 \sqrt{\pi} \,\, _2F_1\left(\frac{2}{3},1;\frac{7}{6};\frac{1}{4}\right)\, \Gamma \left(\frac{2}{3}\right)}{4\, \Gamma \left(\frac{1}{6}\right)}. $$

Un camino hacia la simplificación $\dfrac{\pi}{2^{2/3} 3^{3/2}}$ sería interesante.

Answer 2

Aquí hay una forma de simplificar la respuesta de @Olivier Oloa para la integral que está escrita en términos de la función hipergeométrica de Gauss.

A partir de (4) de una respuesta anterior que di aquí se demostró que $$_2F_1 \left (1, \frac{2}{3}; \frac{7}{6}; \frac{1}{4} \right ) = \frac{2^{4/3}}{\sqrt{\pi}} \Gamma \left (\frac{4}{3} \right ) \Gamma \left (\frac{7}{6} \right ).$$

Así, \begin{align} I &= \frac{3 \sqrt{\pi}}{2^2} \cdot \frac{2^{4/3}}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\Gamma (\frac{4}{3}) \Gamma (\frac{7}{6}) \Gamma (\frac{2}{3})}{\Gamma (\frac{1}{6})}\\ &= \frac{1}{2^{2/3} 6} \Gamma \left (1 - \frac{1}{3} \right ) \Gamma \left (\frac{1}{3} \right )\\ &= \frac{1}{2^{2/3} 6} \cdot \frac{\pi}{\sin (\frac{\pi}{3})}\\ &= \frac{\pi}{2^{2/3} 3^{3/2}}, \end{align} dando la simplificación requerida.

En realidad, la razón de esta coincidencia es, como acabo de descubrir, poco sorprendente. Como observa correctamente @Zacky en la sección de comentarios de la pregunta enlazada, la integral considerada aquí es, dentro de un factor numérico, justo la considerada en la pregunta enlazada, a saber $$\int_0^1 \frac{x^{2/3}}{\sqrt[3]{1 - x} (1 - x + x^2)} \, dx = 2^{5/3} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[3]{\sin x}}{4 - \sin^2 x} \, dx.$$