Integración del contorno con puntos de ramificación dentro del contorno.

Question

En mi investigación científica me encontré con una situación desagradable con un tipo específico de integrales de contorno. Siendo más específico, tengo problemas no con las integrales en sí mismas (puedo utilizar varias técnicas de integración numérica, que funcionan perfectamente) sino con el procedimiento de su evaluación.

Por ejemplo supongamos que necesito calcular algo como $$I=\int _0^{\infty }Q_m\left(\sqrt{2 \lambda },\sqrt{2 t}\right)e^{-\alpha t}t^{\nu }\mathrm dt. \tag{1}$$

donde $Q_m\left(a,b\right)$ es la función Q de Marcum .

1. Para el primer paso utilizaré su representación integral de contorno (se puede encontrar, por ejemplo, en J.Proakis, Comunicaciones digitales. New York: McGraw-Hill ): $$Q_m(a,b)=e^{-\frac{1}{2} \left(a^2+b^2\right)}\oint _{\gamma }\frac{\exp \left(\frac{a^2}{2 p}+\frac{b^2 p}{2}\right)}{(1-p) p^m}\mathrm dp$$ donde $\gamma$ - cualquier contorno (en sentido contrario a las agujas del reloj) que rodee la singularidad en $p=0$ (ya que $m\in \mathbb{Z}$ es un polo) y sin incluir la singularidad en $p=1$ : normalmente un círculo de radio $0<r<1$ alrededor de $p=0$ es elegido.
   Todo está bien en este paso: Puedo deformar el contorno de la integración si es necesario, ya que sólo tengo polos.
2. En el segundo paso lo conecto, cambio el orden de integración y obtengo: $$I=e^{-\lambda }\oint _{\gamma }\frac{e^{\lambda p}}{(1-p) p^m}\left(\int_0^{\infty } t^{\nu } e^{-\left(1+\alpha -\frac{1}{p}\right)t} \,\mathrm dt\right)\mathrm dp \tag{2}$$
3. Entonces la integral interna puede ser tratada como la transformada de Laplace en $s=1+\alpha -\frac{1}{p}$ Así que..: $$\int_0^{\infty } t^{\nu } e^{-\left(\alpha -\frac{1}{p}+1\right)t} \,\mathrm dt=\mathcal{L}\left(t^{\nu };s=1+\alpha -\frac{1}{p}\right)=\frac{\Gamma (\nu +1)}{\left((1+\alpha )-\frac{1}{p}\right)^{\nu +1}}$$

4. Combinando todo junto: $$I=\frac{e^{-\lambda }\Gamma (\nu +1)}{(1+\alpha)^{\nu +1}}\oint _{\gamma }\frac{e^{\lambda p}}{(1-p) p^{m-\nu -1}\left(p-\frac{1}{\alpha +1}\right)^{\nu +1}}\mathrm dp \tag{3}$$ Y ahora, desde $(m-\nu-1\notin \mathbb{Z})\vee (\nu+1\notin \mathbb{Z})$ y $\frac{1}{1+\alpha}<1$ Estoy en un gran problema porque para cualquier contorno inicialmente elegido hay un punto de ramificación dentro de él ( $p=0$ ), lo que significa que no puedo deformarlo más como deseaba hacerlo. Además, con una mala elección de $\gamma$ puede haber un punto de ramificación más $p=\frac{1}{1+\alpha}$ .

   Así que las preguntas son: ¿cómo debo proceder a continuación y hay alguna manera (o tal vez algún truco) para hacer frente a la última integral en vista de los puntos de brunch?

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ACTUALIZACIÓN

Parece que como yo accidentalmente (como una cadena de pasos completamente erróneos e ilegales) encontró algo que se parece sospechosamente a la solución:

$$ \begin{eqnarray} I\!\!&=&\!\!\!\frac{e^{-\lambda }\Gamma (\nu +1)}{(1+\alpha)^{\nu +1}}\!\!\left[\!\mathcal{L^{-1}}\!\!\!\left(\!\!\frac{1}{(1-p) p^{m-\nu -1}\!\left(p-\frac{1}{\alpha +1}\!\!\right)^{\nu +1}}\!;\!t\!=\!\lambda\!\!\right)\!\!-\!\underset{p=1}{\mathrm{Res}}\!\!\left(\!\!\frac{e^{\lambda p}}{(1-p) p^{m-\nu -1}\!\left(\!p-\frac{1}{\alpha +1}\!\!\right)^{\nu +1}}\!\right)\!\!\right]\!=\!\\ &=&-\frac{\Gamma(\nu+1)}{\Gamma(m+1)}\frac{\lambda^m e^{-\lambda}}{(1+\alpha)^{\nu+1}}\Phi_2\left(\nu+1,1,m+1;\frac{\lambda}{1+\alpha},\lambda\right)+\alpha^{-\nu-1}\Gamma(\nu+1) \end{eqnarray} $$

donde $\Phi_2(b_1,b_2,c;x,y) = \sum_{m,n=0}^\infty \frac{(b_1)_m (b_2)_n} {(c)_{m+n} \,m! \,n!} \,x^m y^n $ - es la serie Humbert .
El "candidato" a solución que se obtiene coincide perfectamente con la integración numérica para varios conjuntos de parámetros. Como ejemplo he puesto $\lambda=0.1, \ m=5$ y obtuve la siguiente comparación:

Aquí los puntos representan la solución obtenida y las líneas sólidas - la integración numérica en $(1)$ .
Esta solución me hace pensar que tengo que deformar (de alguna manera) el contorno $\gamma$ para obtener el contorno de Bromwich.

¿Pero cómo puede ser esto, ya que la deformación es ilegal en presencia de puntos de ramificación en su interior?

Answer 1

No hay problemas al final del día, gracias a que hay dos, no sólo uno, puntos de ramificación en $p=0, \tfrac{1}{\alpha+1}$ . Se puede tomar $[0,\tfrac{1}{\alpha+1}]$ para que sea el corte de la rama del integrando en la Ec. (3) y así hacerlo analítico excepto a lo largo de este corte. Al mismo tiempo, el contorno $\gamma$ debe elegirse de forma que incluya todo el corte de la rama.

Obsérvese que en la Ec. (2), la integral en $t$ es indefinido para ${\rm Re}(\tfrac{1}{p})\ge\alpha+1$ y el corte de la rama cae dentro de esta región. Es coherente con nuestra observación anterior de que el contorno $\gamma$ debe evitar el corte.

Ahora $\gamma$ puede deformarse en un círculo de tamaño arbitrario. Ciertamente no puede pasar suavemente por el polo simple en $p=1$ pero tiene que dejar un pequeño contorno en el sentido de las agujas del reloj a su alrededor. La contribución de este contorno se puede evaluar utilizando el residuo en el polo, y el resultado es $2\pi i \alpha^{-\nu-1}\Gamma(\nu+1)$ . (De hecho, sospecho que a su definición de la función Q de Marcum le falta un factor de $1/2\pi i$ .)

Todavía hay que evaluar la integral sobre el círculo grande, que no desaparece. Esto puede hacerse mediante un cambio de variable $z = 1/p$ . Entonces la integral se convertirá en una sobre un contorno que rodea una singularidad esencial en $z=0$ . Evaluando el residuo se obtiene la parte restante del resultado.

Actualización: Sobre lo anterior, elegí el corte de rama de una función de la forma $(p-p_{0})^{\alpha}(p-p_{1})^{\beta}$ tal que sólo existe entre los dos puntos de la rama algebraica. Sin embargo, en general deberíamos tener dos cortes infinitamente largos que emanen de los puntos de ramificación. Para tener un único corte sólo entre los dos puntos de bifurcación, los dos cortes originales de la bifurcación deben estar alineados de forma que coincidan y deben anularse de alguna forma en la región de solapamiento. Esto sólo es posible cuando $\alpha+\beta$ es un número entero.

Para ilustrar este punto, supongamos que $p_{0}, p_{1} \in \mathbb{R}$ y que $p_{0}<p_{1}$ . Consideramos que los cortes de rama son $[p_{0},\infty)$ y $[p_{1},\infty)$ . A continuación, considere las representaciones polares \begin{equation} p-p_{0} = r_{0} e^{i\theta_{0}}, \quad p-p_{1} = r_{1} e^{i\theta_{1}}. \end{equation} Los ángulos $\theta_{0}$ y $\theta_{1}$ tienen saltos discontinuos $\Delta\theta_{0}=\Delta\theta_{1}=2\pi$ en los respectivos cortes de rama, es decir $[p_{0},\infty)$ y $[p_{1},\infty)$ . Ahora consideremos \begin{equation} (p-p_{0})^{\alpha}(p-p_{1})^{\beta} = r_{0}^{\alpha} r_{1}^{\beta} e^{i(\alpha\theta_{0}+\beta\theta_{1})}. \end{equation} En la región de solapamiento, es decir, $[p_{1},\infty)$ el argumento de esta cantidad salta por \begin{equation} \alpha\Delta\theta_{0} + \beta\Delta\theta_{1} = 2\pi (\alpha+\beta). \end{equation} Por lo tanto, cuando $\alpha+\beta$ es un número entero, no hay discontinuidad en $e^{i(\alpha\theta_{0}+\beta\theta_{1})}$ y por lo tanto en $(p-p_{0})^{\alpha}(p-p_{1})^{\beta}$ a través de $[p_{1},\infty)$ . Dos cortes superpuestos en esta región se anulan mutuamente y la función se hace analítica allí.

Este tipo de cancelación puede ocurrir siempre que los cortes de rama de cualquier número de puntos de rama algebraicos coincidan y las potencias sumen un número entero.