¿Por qué los grupos libres son finitos de forma residual?

Question

¿Por qué toda palabra no trivial en un grupo libre (es fácil de reducir al caso de, por ejemplo, dos generadores) tiene una imagen no trivial en algún grupo finito? De forma equivalente, ¿por qué el mapa natural de un grupo a su terminación profinita es inyectivo si el grupo es libre?

Aparentemente, esto se desprende de un resultado de Malcev según el cual los grupos matriciales generados finitamente sobre un anillo conmutativo arbitrario son residualmente finitos, pero ¿existe una prueba más accesible si sólo queremos el resultado para grupos libres?

Answer 1

Karl Auinger y yo hemos ideado la siguiente prueba que demuestra la residencia p e incluso propiedades más fuertes (por ejemplo, la residencia finita del exponente libre de cuadrados). Permítanme introducir primero la construcción principal que utilizamos en http://www.springerlink.com/content/9nmr9hhl5guvwyjf/ para obtener resultados de separabilidad más sólidos.

Fijar un conjunto generador finito X. Se supone que todos los grupos son generados por X. Si G es un grupo generado por X y p es un primo, sea G(p) el cociente del grupo libre $F_X$ por el subgrupo normal formado por todas las palabras $w$ que son triviales en G y que etiquetan un bucle en el grafo de Cayley de G en 1 que es trivial en homología con coeficientes mod-p. G(p) es una extensión de un grupo abeliano elemental p por G.

Sea ahora C una clase de grupos finitos tal que para cada $G\in C$ hay un primo p con $G(p)\in C$ y que es cerrado bajo productos directos finitos, subgrupos y grupos cocientes. Por ejemplo, C podría ser todos los grupos p finitos o todos los grupos finitos de exponente libre de cuadrados. Afirmamos que los grupos libres son residualmente C.

Sea N la intersección de todos los subgrupos normales de $F_X$ con cociente en C. Debemos demostrar que N es trivial. Supongamos que no. Sea $H=F_X/N$ . Como H no es libre en la imagen de X, hay una palabra w que etiqueta un bucle simple de vértice (sin vértices repetidos) en 1 en el gráfico de Cayley de H. Como H es residualmente C, hay un grupo finito generado por X G en C tal que w etiqueta un bucle simple de vértice en 1 en el gráfico de Cayley de G. Sea p un primo con G(p) en C. Claramente un bucle simple de vértice no es trivial en la homología mod-p. Por lo tanto, w es no trivial en G(p) contradiciendo el cociente de H. Por lo tanto w es no trivial en G(p) contradiciendo que G(p) es un cociente de H. Esto demuestra que N es trivial por lo que los grupos libres son residualmente C.

Answer 2

También se puede encontrar una prueba basada en la topología algebraica en las notas de clase de Thomas Koberda, RAAGS y sus subgrupos de hecho, demuestra de forma más general que un grupo libre finitamente generado es residualmente $p$ para cualquier primo. La prueba es bastante lacónica, por lo que a continuación doy algunos detalles.

Un grupo libre finitamente generado $F$ es el grupo fundamental de un ramo finito de círculos $X_0$ . Por inducción, construimos una secuencia de coberturas regulares $$\cdots \to X_2 \to X_1 \to X_0,$$ donde $\mathrm{Aut}(X_{i+1} \to X_i) \simeq H_1(X_i, \mathbb{Z}_p)$ para construir $X_{i+1}$ basta con tomar la cobertura de $X_i$ asociado al subgrupo de $\pi_1(X_i)$ que consiste en el núcleo de $$\pi_1(X_i) \twoheadrightarrow \pi_1(X_i)^{\mathrm{ab}} \simeq H_1(X_i,\mathbb{Z}) \twoheadrightarrow H_1(X_i, \mathbb{Z}_p).$$

En particular, observe que $H_1(X_i,\mathbb{Z}_p)$ es un grupo de torsión abeliano finitamente generado, por lo que es un $p$ -grupo. Por lo tanto, cualquier cobertura $X_{i+1} \to X_i$ de nuestra secuencia tiene un grado una potencia de $p$ . Para concluir, basta con observar que cualquier bucle en $X_0$ no se levanta en $X_i$ como un bucle para un número suficientemente grande de $i$ .

Porque la acción $\mathrm{Aut}(X_{i+1} \to X_i) \curvearrowright X_{i+1}$ es libre, deducimos

Reclamación 1: Un bucle $\gamma \subset X_i$ se eleva en $X_{i+1}$ como un bucle si $\gamma=1$ en $H_1(X_0, \mathbb{Z}_p)$ .

Reclamación 2: Un bucle que minimiza la longitud entre los bucles homotópicos no triviales de un grafo $Y$ define un elemento no trivial de $H_1(Y,\mathbb{Z})$ .

Ahora dejemos que $l(X_i)$ denota la longitud mínima de un bucle homotópico no trivial en $X_i$ . Por supuesto, tenemos $l(X_0)=1$ .

Reclamación 3: $l(X_{i}) \geq i+1$ para todos $i \geq 0$ .

Dejemos que $\gamma$ sea un bucle en $X_{i+1}$ y que $p$ denota el mapa de cobertura $X_{i+1} \to X_i$ . Entonces $p(\gamma)$ es un bucle en $X_i$ que se eleva en $X_{i+1}$ como un bucle, por lo que $\mathrm{lg}(p(\gamma)) \geq l(X_i)+1$ según las reivindicaciones 1 y 2 (si $p$ es lo suficientemente grande). Por lo tanto, $$\mathrm{lg}(\gamma) \geq \mathrm{lg}(p(\gamma)) \geq l(X_i)+1,$$ y finalmente $l(X_{i+1}) \geq l(X_i)+1$ . Ahora, la afirmación 3 se deduce fácilmente.

Deducimos de la afirmación 3 que, si un bucle homotópico no trivial $\gamma \subset X_0$ bucles en $X_i$ como un bucle $\gamma'$ entonces $$\mathrm{lg}(\gamma)=\mathrm{lg}(\gamma') \geq l(X_i) \geq i+1;$$ por lo tanto, para un tamaño suficientemente grande $j$ , $\gamma$ no puede elevarse en $X_j$ como un bucle.