Geometría proyectiva biyección bien definida

Question

Considero que la esfera $\mathbb S^n:=\{x\in\mathbb R^{n+1}: \|x\|=1 \}$ y la relación de equivalencia $x\sim y:\Leftrightarrow x=\pm y$ .

¿Cómo se puede demostrar que la inclusión $\mathbb S^n\rightarrow\mathbb R^{n+1}$ induce una biyección bien definida $\mathbb S^n/\sim\rightarrow\mathbb {RP}^n$ ?

Si pudiera demostrarlo conseguiría la identificación $\mathbb{ RP}^2=\mathbb S^2/\sim$ es decir, los puntos del plano proyectivo $\mathbb {RP}^2$ pueden identificarse con los puntos antípodas de $\mathbb S^2$ .

Mi segunda pregunta es: ¿cómo se pueden describir las líneas proyectivas de esta imagen?

Answer 1

Como se pide. Para demostrar la subjetividad, supongamos que tenemos un elemento arbitrario $[x_0: \cdots : x_n]\in \mathbb{RP}^n$ . Debemos encontrar algún elemento $y\in S^n/\sim$ que lo mapea.

Dado que algunos $x_i\neq 0$ tenemos $\|(x_0, \ldots, x_n)\|\neq 0$ y por lo tanto $\displaystyle y=\frac{(x_0, \ldots, x_n)}{\|(x_0, \ldots, x_n)\|}\in S^n$ .

El mapa en cuestión incluye esto en $\mathbb{R}^{n+1}$ seguido del mapa de cociente, es decir $y\mapsto [y]$ . Pero ahora $[y]=[x_0: \cdots : x_n]$ porque $y$ es sólo un múltiplo escalar de $(x_0, \ldots , x_n)$ .

Hay varias formas equivalentes de describir/pensar en las líneas. Me he dado cuenta de que Líneas en el espacio proyectivo a la derecha, y la respuesta de Georges es exactamente como la describiría.