Un espacio topológico es trivial si toda función hacia él es continua

Question

Si $Y$ tiene la topología trivial $\tau_Y = \{\emptyset, Y\}$ entonces para cada espacio topológico $X$ y cada mapa $f: X \rightarrow Y$ , $f$ es continua, porque la preimagen de los dos conjuntos abiertos de $Y$ está abierto en $X$ . Me pregunto si lo contrario es cierto: Dado un conjunto $Y$ tal que, para todo espacio topológico $X$ y para cada función $f: X \rightarrow Y$ , $f$ es continua, entonces $\tau_Y = \{\emptyset, Y\}$ ? ¿Es posible construir una función tal que los únicos conjuntos abiertos en $Y$ son $Y$ y $\emptyset$ ?

Answer 1

Supongamos que $\tau_Y$ no es trivial, y dejemos que $U\in\tau_Y\setminus\{\varnothing,Y\}$ . Ahora mira el mapa de identidad de $Y$ con la topología indiscreta a $\langle Y,\tau_Y\rangle$ y considerar la imagen inversa de $U$ bajo este mapa.