sistema lineal de ecuaciones diferenciales de primer orden

Question

$mx(t) = kx(t) cx(t)$

Expresar la ecuación del movimiento como un sistema lineal de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Me preguntaba si esta es la forma correcta de pensarlo..

1. $cx'(t) = -kx(t) - mx''(t)$
2. integral de $kx(t) = -cx'(t) - mx''(t)$
3. derivado de $mx''(t) = -kx(t) - cx'(t)$

Si es así, ¿cómo podría resolver $2/3$ ?

Answer 1

La idea es utilizar $x''(t) = (x'(t))'$ . Así que en lugar de tener un ecuación de segundo orden, se introduce una nueva función, digamos $y(t) = x'(t)$ y tienes dos ecuaciones de primer orden:

$$ x'(t) = y(t)\\ y′(t) = −\frac{k}{m} x(t) − \frac{c}{m}y(t) $$

Esto puede escribirse en forma de matriz y resolverse mediante métodos estándar, véase por ejemplo aquí .

Answer 2

Para cambiar las ecuaciones a primer orden utilizamos la sustitución.

$\phi_1(t)=x(t)$

$\phi_2(t)=x'(t)$

Entonces:

$\phi_1'(t)=x'(t)=\phi_2(t)$

$\phi_2'(t)=x''(t)=\dfrac{-k\phi_1(t)-c\phi_2(t)}{m}$

Ahora tienes un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden.