El contorno de Integración y Cortes de ramas

Question

Tengo un vergonzosamente simple pregunta. Por alguna razón no he estudiado realmente complejo y estoy sufriendo bajo este ahora. Necesito para evaluar las integrales de contorno de multi-funciones con valores y estoy confundido acerca de algunos detalles (el estándar de ejemplos en los libros de texto de evitar las dificultades que me encuentro con mi integrales). Citemos algunos ejemplos del papel arXiv:1008.5194 (consulte las páginas 53-54).

Allí se desee evaluar la integral $$\oint_{|\omega|=x}d\omega\:(1-\omega)^{-3/4}(x-\omega)^{-3/4}\omega^{-3/4}$$

donde $x\in]0,1[$ y obtener $$(-1+e^{-i\frac{3\pi}2})\int_0^xd\omega\:(1-\omega)^{-3/4}(x-\omega)^{-3/4}\omega^{-3/4}.$$ (Que es esencialmente la representación integral de funciones hipergeométricas). Puesto que el integrando es multi-valuadas y tiene puntos de ramificación en $\omega = 0, x, 1$ probablemente deberíamos hacer una rama de corte en el eje real positivo. Si yo, ingenuamente, deforman el contorno en una línea de $x$ $0$sobre el eje real y una línea de $0$ $x$por debajo del eje real, me parece que para obtener el resultado correcto. Pero eso no puede ser correcto; debido a la sucursal de cortar el círculo no se cierra y tenemos que cruzar la corte varias veces para volver a la original de Riemann de la hoja y cerrar el contorno. Pero cuando hago esto, teniendo en cuenta las fases acumulado, mientras que va alrededor de la superficie de Riemann, no me da el resultado correcto. ¿Cómo se hace la derecha?

Otro ejemplo es $$\oint_{|\omega|=1}d\omega\:(1-\omega)^{-3/4}(x-\omega)^{-3/4}\omega^{-3/4} = (1-e^{-i\frac{3\pi}2})\int_1^{\infty}d\omega\:(1-\omega)^{-3/4}(x-\omega)^{-3/4}\omega^{-3/4}.$$ Aquí no obtengo el resultado, incluso con el "ingenuo" y no entiendo por qué la integración debe estar en el intervalo de $]1,\infty[$.

---

ACTUALIZACIÓN: Sasha dio una muy buena respuesta y su solución parece ser correcta, de acuerdo con el cálculo numérico. Pero es diferente de lo que el trabajo se encuentra y creo que el papel es correcta, por lo que hay otra forma equivalente de interpretar el contorno? O podría haber un problema en esta (y muchas otras) los papeles...?

Answer 1

Considere la posibilidad de $f(\omega) = \omega^{-3/4} (x-\omega)^{-3/4} (1-\omega)^{-3/4}$$ I(x) = \oint_{\vert \omega \vert = x} f(\omega) \mathrm{d} \omega$.

La función de $f(\omega)$ es discontinua en a $\omega = -x$ a lo largo de $\vert \omega \vert = x$, y ha integrable singularidad en $\omega = x$. Haciendo un cambio de variables, $\omega = x z$: $$ I(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \oint_{\vert z \vert = 1} z^{-3/4} (1-z)^{-3/4} (1-x z)^{-3/4} \mathrm{d} z = \frac{1}{\sqrt{x}} \oint_{\vert z \vert = 1} h\left(z\right) \, \mathrm{d} z $$

Deje $\mathcal{C}$ denotar el círculo de $\vert z \vert = 1$. Deje $C_{-1, \delta}$ denotar segmento de $\mathcal{C}$ que cruza la negativa del eje y de la longitud de la $2 \pi \delta$, $\pi \delta$ por encima y $\pi \delta$ por debajo de la negativa del eje.

Es claro que la integral a lo largo de $\mathcal{C}_{-1,\delta}$ está desapareciendo como $\delta \to 0$: $$ \begin{eqnarray} \left\vert \int_{\mathcal{C}_{-1,\delta}} z^{-3/4} (1-z)^{-3/4} (1-x z)^{-3/4} \mathrm{d} z \right\vert &\le& (2(1+x))^{-3/4} \left\vert \int_{\mathcal{C}_{-1,\delta}} z^{-3/4} \mathrm{d} z \right\vert \\ &=& \left(2 (1+x) \right)^{-3/4} \frac{8\sqrt{2}}{7} \sin\left(\frac{7 \delta}{8}\right) \left( \cos\left(\frac{7 \delta}{8}\right) - \sin\left(\frac{7 \delta}{8}\right) \right) \\ &\le& \sqrt{2} \delta \left(2 (1+x) \right)^{-3/4} \end{eqnarray} $$

Vamos a terminar de $\mathcal{C} \backslash \mathcal{C}_{-1,\delta}$ con integración a lo largo de $(-1,0)$ por encima del eje y, a continuación, a lo largo de $(0,-1)$ por debajo del eje con el fin de completar el contorno, y llamar a la completó el contorno de $\mathcal{L}$. Entonces $$ \begin{eqnarray} \oint_{\mathcal{C}} h\left(z\right) \, \mathrm{d} z &=& \oint_{\mathcal{L}} h\left(z\right) \, \mathrm{d} z + \int_0^1 \left( h\left(-y - i \epsilon \right) - h\left(-y + i \epsilon \right) \right)\, \mathrm{d} y \\ &=& \oint_{\mathcal{L}} h\left(z\right) \, \mathrm{d} z + \left( \mathrm{e}^{i \frac{3 \pi}{4}} - \mathrm{e}^{-i \frac{3 \pi}{4}} \right) \int_0^1 y^{-3/4}(1+y)^{-3/4}(1+x y)^{-3/4} \mathrm{d} y \end{eqnarray} $$ El reclamo es que el principal valor de $\oint_\mathcal{L} h(z) \mathrm{d} z = 0$, por lo que tenemos $$ I(x) = \frac{2 \sin\left( 3/4 \pi \right)}{\sqrt{x}} \int_0^1 y^{-3/4}(1+y)^{-3/4}(1+x y)^{-3/4} \mathrm{d} y $$

Ahora, vamos a ver esto con las cuadraturas:

Aviso de que la supuesta respuesta que dio en su post puede no ser correcta, ya que no es puramente imaginario.