base de trascendencia de las extensiones de campo de $\mathbb{Q}$

Question

En algún ejercicio, veo lo siguiente:

Dejemos que $K = \mathbb{Q}(X_1 ,\dots , X_n )$ y $k = \mathbb{Q}(e_1 , \dots, e_n )$ , donde $(e_i)$ son los polinomios simétricos elementales.

Dice así:

"Como K es una extensión finita, es algebraica sobre k, por lo tanto K y k tienen el mismo grado de trascendencia sobre $\mathbb{Q}$ ."

No veo ese resultado en mi curso, y lo más parecido que he encontrado es este resultado:

ya que K es finito, por tanto algebraico sobre k, la familia $S=(e_1 , \dots , e_n )$ contiene una base de trascendencia de K sobre $\mathbb{Q}$ .

¿Podría ayudarme a encontrar la dirección correcta?

Gracias.

Answer 1

Un conjunto $\{t_1,\dots,t_n\}$ de elementos de un campo de extensión $k/F$ es una base de trascendencia si

1. no hay ningún polinomio no nulo $f(X_1,\dots,X_n)\in F[X_1,\dots,X_n]$ tal que $f(t_1,\dots,t_n)=0$ ;
2. $k$ es algebraico sobre $F(t_1,\dots,t_n)$ .

Obsérvese que la condición 1 implica que cada $t_i$ es trascendental sobre $F$ (pero es más fuerte que esto).

De ello se deduce que si $K$ es una extensión algebraica de $k$ entonces $\{t_1,\dots,t_n\}$ es también una base de trascendencia de $K$ en $F$ porque los elementos siguen siendo algebraicamente independientes y $K$ es algebraico sobre $F(t_1,\dots,t_n)$ (algebraico sobre algebraico).

La condición 1 suele expresarse diciendo que $t_1,\dots,t_n$ son algebraicamente independientes. Para conjuntos infinitos, sustituya la condición 1 por "todo subconjunto finito es algebraicamente independiente".