Sea x un objeto que no es un conjunto
Sea S un conjunto
¿Sería la siguiente afirmación:
x S
evaluar a False, o se considera que no es una declaración bien formada (ya que x ni siquiera es un conjunto).
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Shankar
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106
En Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel En los axiomas estándar de la teoría de conjuntos, todo "objeto" es un conjunto. Por tanto, una afirmación como $x\subseteq S$ siempre tendrá sentido, y tendrá el mismo valor de verdad que $$ \forall z:z\in x\implies z\in S $$
"Todo es un conjunto" puede resultar confuso. "¿Qué son entonces los números?", puede preguntar alguien. Por ejemplo, los números naturales pueden construirse como conjuntos como $0:=\emptyset$ , $1:=\{0\}=\{\emptyset\}$ , $2:=\{0,1\}=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ , $3:=\{0,1,2\}=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}$ y así sucesivamente...
Hay otros fundamentos posibles para las matemáticas, como teoría de los tipos donde puede haber cosas que no sean conjuntos, por lo que tu pregunta tiene sentido en ese entorno (pero no conozco la teoría de tipos).
Pedro Pimenta
Puntos
185
En la Teoría Axiomática de Conjuntos estándar de Zermelo-Fraenkel todos los objetos (es decir, las variables que se pueden cuantificar o las constantes que se pueden utilizar en las fórmulas) son conjuntos, por lo que, en ese caso, una fórmula $x\subseteq S$ donde $x$ no es un conjunto tiene poco o ningún sentido.
Lo que algunos autores pueden hacer es extender el lenguaje para incluir símbolos para clases (como se hace en Introduction to Axiomatic Set Theory de Takeuti, G. y Zaring, W.M.), lo que debe quedar claro es que no se puede usar ningún cuantificador en esos símbolos, representan colecciones de conjuntos y no son objetos en sentido estricto, por lo que, suponiendo que $x$ es una clase pero no un conjunto, $x\subseteq S$ tiene sentido pero siempre sería una fórmula falsa si $S$ es un conjunto, porque un conjunto no puede tener una clase propia como "subconjunto" (o "subclase"), se puede demostrar que aplicando el Axioma de Separación a $S$ y teniendo eso $x$ es un conjunto, por lo que es una contradicción.
