¿El haz vectorial endomorfo es isomorfo al haz adjunto de su haz marco?

Question

¿Podría alguien ayudarme a demostrar el siguiente isomorfismo (en particular cuál es el isomorfismo)? \begin{equation} End(\xi) \cong ad(E_{\xi}) = E_{\xi} \times_{GL(n,\mathbb{R})} \text{Mat}_n(\mathbb{R}) \end{equation} donde $E_{\xi}$ es el haz de marcos asociado a $\xi$ y $GL(n,\mathbb{R})$ actúa sobre su álgebra de Lie $\text{Mat}_n(\mathbb{R})$ por conjugación

Muchas gracias por su atención.

Answer 1

¡Cambio las anotaciones!

Si no me equivoco: $E$ es un director $GL(n,\mathbb{R})$ -sobre un espacio topológico $X$ , $Ad(E)$ es el haz vectorial adjunto (sobre $X$ ) asociado a $E$ y $F(E)\equiv F$ es el haz de tramas (vectoriales) (sobre $X$ ) asociado a $E$ .

Por definición: existe una cobertura abierta $\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$ (para $Ad(E)$ ) de $X$ tal que:

• $\pi_1^{-1}(U_{\alpha})\stackrel{\varphi_{\alpha}}{\cong}U_{\alpha}\times\mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})=U_{\alpha}\times\mathbb{R}^n_n$ , $\varphi_{\alpha}$ es un homeomorfismo;

• $pr_1\circ\varphi_{\alpha}=\pi_1$ ;

• obteniendo $U_{\alpha\beta}=U_{\alpha}\cap U_{\beta}\neq\emptyset$ los mapas: \begin{equation} \varphi_{\beta\displaystyle|\pi_1^{-1}(U_{\alpha\beta})}\circ\varphi^{-1}_{\alpha\displaystyle|\pi_1^{-1}(U_{\alpha\beta})}:(P,M)\in U_{\alpha\beta}\times\mathbb{R}^n_n\to(P,Ad(g_{\alpha\beta}(P)^{-1})(M))\in U_{\alpha\beta}\times\mathbb{R}^n_n \end{equation} son homeomorfismo y las funciones $g_{\alpha\beta}:U_{\alpha\beta}\to GL(n,\mathbb{R})$ son las funciones de transición de $E$ .

De la misma manera: existe una cobertura abierta $\{V_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$ (para $End(F)$ ) de $X$ tal que:

• $\pi_2^{-1}(V_{\alpha})\stackrel{\psi_{\alpha}}{\cong}V_{\alpha}\times End(\mathbb{R}^n)=V_{\alpha}\times\mathbb{R}^n_n$ , $\psi_{\alpha}$ es un homeomorfismo;

• $pr_1\circ\psi_{\alpha}=\pi_2$ ;

• obteniendo $V_{\alpha\beta}=V_{\alpha}\cap V_{\beta}\neq\emptyset$ los mapas: \begin{equation} \psi_{\beta\displaystyle|\pi_2^{-1}(V_{\alpha\beta})}\circ\psi^{-1}_{\alpha\displaystyle|\pi_2^{-1}(V_{\alpha\beta})}:(P,M)\in V_{\alpha\beta}\times\mathbb{R}^n_n\to\left(P,\left(^Tg_{\alpha\beta}^{-1}\otimes g_{\alpha\beta}\right)(P)(M)\right)\in V_{\alpha\beta}\times\mathbb{R}^n_n \end{equation} son homeomorfismos y las funciones $g_{\alpha\beta}:V_{\alpha\beta}\to GL(n,\mathbb{R})$ son las funciones de transición de $E$ (y de $F$ ).

Observación. Para cualquier par de haces vectoriales $V$ y $W$ en $X$ : $Hom(V,W)\cong V^{\vee}\otimes W$ !, donde $V^{\vee}$ es el haz dual (vectorial) de $V$ .

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $Ad(E)$ y $F$ tienen la misma cobertura abierta de trivialización $\{U_i\}_{i\in I}$ en $X$ !, por un simple cómputo: \begin{gather} \forall i,j\in I,P\in U_{ij}\neq\emptyset,M\in\mathbb{R}^n_n,\\ Ad(g_{ij}^{-1}(P))(M)=g_{ij}^{-1}(P)\times M\times g_{ij}(P)=\left(^Tg_{ij}^{-1}\otimes g_{ij}\right)(P)(M); \end{gather} en otras palabras, porque $Ad(E)$ y $End(F)$ tienen la misma cobertura abierta de trivialización y las mismas funciones de transición, ¡son canónicamente isomorfas!

Answer 2

Para un haz vectorial $E$ aquí hay una biyección "natural" entre su haz de endomorfismos $\mathrm{End}(E)$ y su haz adjunto $F(E) \stackrel{\mathrm{GL}_n}{\times} \mathrm{M}_n$ . Cada fibra de $\mathrm{End}(E)$ por encima de un punto $p$ consiste en mapeos lineales $L:E_p\to E_p$ mientras que la fibra del haz adjunto está formada por pares $(\beta, M)$ , donde $\beta$ es una base de $E_p$ y $M$ es una matriz.

La biyección envía $L$ a la pareja $(\beta, [L]_\beta)$ , donde $\beta$ es cualquier base y $[L]_\beta$ es la matriz de $L$ con respecto a $\beta$ . Esto está bien definido, porque el cambio de base para un endomorfismo viene dado por la representación (dual) adjoint: es decir, si elegimos cualquier otra base $A{\cdot} \beta$ para $A\in \mathrm{GL}_n$ , enviaríamos $L$ a: $$ (A{\cdot}\beta, [L]_{A\cdot\beta}) \ =\ (A{\cdot}\beta, A^{-1}[L]_\beta A) \ \sim\ (\beta, AA^{-1}[L]_\beta AA^{-1}) \ =\ (\beta, [L]_\beta), $$ es decir, el mismo elemento que antes. La inversa de la biyección envía evidentemente $(\beta, M)$ al endomorfismo $L$ definida por la matriz $M$ con respecto a la base $\beta$ y, de nuevo, esto está bien definido con respecto a la $\mathrm{GL}_n$ cociente debido a la fórmula de cambio de base para las matrices.

Este es un principio general (y el haz de tramas es un principio general): cualquier construcción de un espacio vectorial con un haz corresponde a un haz vectorial asociado al haz de tramas, al realizar la construcción con respecto a una base arbitraria.