Problema con la prueba de de $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\| \cos \theta$ en Simon, Blume 1994

Question

En Simon, Blume 1994, p. 215, encontramos la siguiente prueba de la identidad $$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\| \cos \theta $$

Sin pérdida de generalidad, podemos trabajar con $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ como vectores con colas en el origen $\mathbf{0} ;$ diga $\mathbf{u}=\overrightarrow{O P}$ y $v=\overrightarrow{O Q}$ . Sea $\ell$ sea la línea que pasa por el vector $\mathbf{v}$ es decir, la línea que pasa por los puntos 0 y $Q$ . Dibuja el segmento de línea perpendicular $m$ desde el punto $P$ (el jefe de $\mathbf{u}$ ) a la línea $\ell$ como en la figura 10.20 . Sea $R$ sea el punto donde $m$ se encuentra con $\ell$ . Desde $R$ se encuentra en $\ell, \overrightarrow{O R}$ es un múltiplo escalar de $\mathbf{v}=\overrightarrow{O Q}$ . Escriba $\overrightarrow{O R}=t v .$ Desde $\mathbf{u}, t \mathbf{v},$ y el segmento $m$ son los tres lados del triángulo rectángulo $O P R,$ podemos escribir $m$ como el vector $\mathbf{u}-t \mathbf{v}$ . Desde $\mathbf{u}$ es la hipotenusa de este triángulo rectángulo, $$ \cos \theta=\frac{\|t \mathbf{v}\|}{\|\mathbf{u}\|}=\frac{t\|\mathbf{v}\|}{\|\mathbf{u}\|} $$ Por otro lado, por el Teorema de Pitágoras y el Teorema $10.2,$ el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es: $\|\mathbf{u}\|^{2}=\|t \mathbf{v}\|^{2}+\|\mathbf{u}-t \mathbf{v}\|^{2}$ $$ \begin{array}{l} =t^{2}\|\mathbf{v}\|^{2}+(\mathbf{u}-t \mathbf{v}) \cdot(\mathbf{u}-t \mathbf{v}) \\ =t^{2}\|\mathbf{v}\|^{2}+\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}-2 \mathbf{u} \cdot(t \mathbf{v})+(t \mathbf{v}) \cdot(t \mathbf{v}) \\ =t^{2}\|\mathbf{v}\|^{2}+\|\mathbf{u}\|^{2}-2 t(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})+t^{2}\|\mathbf{v}\|^{2} \end{array} $$ o $$ 2 t(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})=2 t^{2}\|\mathbf{v}\|^{2} $$ De ello se desprende que $$ t=\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|^{2}} $$ Introduciendo la ecuación (5) en la ecuación (4) se obtiene $$ \cos \theta=\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|} $$

Esta identidad se utiliza para demostrar el siguiente teorema

Teorema 10.4 El ángulo entre vectores $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ en $\mathbf{R}^{\mathbf{n}}$ es (a) aguda, si $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}>0$ (b) obtuso, si $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}<0$ , (c) derecho, si $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=0$ .

Sin embargo, no entiendo del todo esta prueba ya que parece que $$ \cos \theta=\frac{\|t \mathbf{v}\|}{\|\mathbf{u}\|}=\frac{|t|\|\mathbf{v}\|}{\|\mathbf{u}\|}\neq\frac{t\|\mathbf{v}\|}{\|\mathbf{u}\|} $$ Especialmente, esto implicaría que $$ \cos \theta=\frac{|\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}|}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|} $$ lo que contradice el teorema 10.4. ¿Me he perdido algo o hay un error en esta demostración?

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Los autores han escrito demasiado. Deberían haber pasado directamente de $\cos\theta$ a $\frac{t\|\mathbf v\|}{\|\mathbf u\|}$ - en el plano de los vectores $t\mathbf v$ sigue siendo una cantidad firmada.

Answer 2

La prueba citada fue descuidada en un punto. La expresión generalmente correcta es $t\Vert v\Vert/\Vert u\Vert$ en lugar de $|t|\Vert v\Vert/\Vert u\Vert$ . El signo de $t$ se reduce a si el múltiplo de $v$ en el que $u$ se proyecta es paralelo o antiparalelo a $v$ .

Answer 3

La cuestión va más allá del descuido con las señales, ya que la definición de SOHCAHTOA $$ \cos \theta = \frac{\|t \mathbf{v}\|}{\| \mathbf{u} \|}$$ es, estrictamente hablando, sólo válido cuando $0 < \theta < 90$ es un ángulo agudo.

Pero aunque esto sea un poco chapucero, puedo empatizar con los autores de los libros de texto. En particular, cuando muchos estudiantes principiantes necesitarían ayuda con conceptos mucho más elementales (y ni siquiera se molestarían en leer las pruebas por sí mismos), no habría querido dar un largo rodeo hacia el cinco casos que el pleno rigor formal requeriría, tampoco:

1. $\theta = 0$
2. $0 < \theta < 90$
3. $\theta = 90$
4. $90 < \theta < 180$
5. $\theta = 180$

Ninguno de ellos es especialmente difícil, pero si tienes otro material al que llegar, es muy excusable obviar estas cosas de bajo nivel. Sin embargo, en aras de la divulgación completa, los autores que hacen esto deberían mencionar los casos que existen, digamos " Vamos a mostrar uno de ellos; los otros casos son muy similares, " y quizás dejarlos como ejercicios de desafío al final de la sección.