¿Por qué es así la matemática para los exponentes negativos?

Question

Esto es lo que se nos enseña: $$5^{-2} = \left({\frac{1}{5}}\right)^{2}$$

pero no entiendo por qué tomamos el inverso de la base cuando tenemos un exponente negativo. ¿Puede alguien explicar por qué?

Answer 1

Para números naturales $n$, $m$, tenemos $x^n x^m = x^{n+m}$. Si deseas que esta regla se preserve al definir la exponenciación para todos los enteros, entonces debes tener $x^0 x^n = x^{n+0} = x^n$, por lo tanto debes definir $x^0 = 1$. Y luego, argumentando de manera similar, tienes $x^n x^{-n} = x^{n-n} = x^0 = 1$, por lo que $x^{-n} = 1/x^n$.

Ahora, puedes intentar descubrir por ti mismo qué debería ser $x^{1/n}$, si queremos preservar la otra regla de la exponenciación $(x^n)^m = x^{nm}$.

Answer 2

Si comienzas con $5^3$ y divides por $5^1=5$ obtienes $5^2$. Luego, si divides por $5$ obtienes $5^1=5$. Entonces, si divides por $5$ obtienes $5^0=1$. Luego, si divides por $5$ obtienes $5^{-1}=\frac{1}{5}$.

Answer 3

Sabemos que los exponentes positivos se suman, por ejemplo, $5^3 \times 5^2 = 5^5$. Si aceptas que $5^0 = 1$, entonces tiene sentido que $5^{-2} \times 5^2 = 5^0 = 1. Eso significa que $5^{-2} = \frac{1}{5^2}$.

Answer 4

$$ \begin{align} a\cdot 3^{10} & = a\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 \\ \\ a\cdot 3^6 & = a\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 \end{align} $$ Para pasar de la segunda línea a la primera, multiplique por 3 cuatro veces.

Para pasar de la primera a la segunda, multiplique por 3 menos cuatro veces.

$10 = 6 + 4$

$6 = 10 + (-4)$

$$ \begin{align} a\cdot 3^{10} & = a\cdot 3^{6+4} \\ \\ a\cdot 3^6 & = a\cdot 3^{10 + (-4)} \end{align} $$

Answer 5

Hay un montón de ejemplos. Es solo lógico. $$ \begin{align} 10^{5} &= 100000\\ 10^{4} &= 10000\\ 10^{3} &= 1000\\ 10^{2} &= 100\\ 10^{1} &= 10\\ 10^{0} &= 1\\ 10^{-1} &= .1 = 1/10\\ 10^{-2} &= .01 = 1/100\\ 10^{-3} &= .001 = 1/1000\\ 10^{-4} &= .0001 = 1/10000\\ 10^{-5} &= .00001 = 1/100000 \end{align} $$