Supongamos que nos dan un conjunto convexo $A$ . Una dirección de este conjunto es un vector unitario $\bar x$ para lo cual $\forall a \in A, \ \forall c>0, \ (a+c \bar x) \in A$ . En otras palabras, es una dirección en la que se puede extender cualquier vector en $A$ indefinidamente sin dejar $A$ .
Supongamos que $A$ no tiene límites, es decir. $\forall x \in A, \ \exists \ (z_n) \in A \ \forall n \in \Bbb N, \ \lim_{n\rightarrow\infty} |x-z_n| = \infty$ . Es decir, para cada punto de $A$ hay una secuencia que se aleja infinitamente de ese punto. (¿Está bien esta definición?)
Ahora, quiero demostrar que existe al menos una dirección para cada conjunto convexo no limitado.
Seleccione un punto de $A$ Llámalo $x$ . Hay una secuencia $z_n$ como se mencionó anteriormente para este punto $x$ . Ahora calcula el vector $\lim \frac{z_n-x}{|z_n-x|}, \ n \rightarrow \infty$ . Esto es una dirección.
Es una dirección porque si se selecciona cualquier otro punto en $A$ , digamos que $y$ . Como el conjunto es convexo, el vector $y-z_n$ también está en $A$ para todos $n \in \Bbb N$ y también $|y-z_n| \rightarrow \infty, \ n \rightarrow \infty$ . (Esto es intuitivamente claro para los espacios reales bidimensionales y tridimensionales. ¿Es esto cierto en general?). Así, si vamos al infinito, los dos vectores $\lim \frac{z_n-x}{|z_n-x|}, \ n \rightarrow \infty$ y $\lim\frac{z_n-y}{|z_n-y|},\ n \rightarrow \infty$ son paralelos. (De nuevo, intuición geométrica. ¿Es esto cierto de forma más general?)
Esta fue mi solución a un problema de deberes hace muchos años y se me quedó grabada. A menudo me pregunto si hay algo malo en ello. ¿Algún comentario?
