Mi pregunta:
¿Cómo puedo completar la transformada inversa de Fourier de:
$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{-k\omega^2t}e^{-ci\omega t}e^{-i\omega x}\,dx$
No sé cómo utilizar el teorema de desplazamiento/convolución aquí.
El problema:
Resolver la ecuación de difusión con convección:
$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+c\frac{\partial u}{\partial x}, -\infty \lt x \lt \infty$
$\displaystyle u(x,0)=f(x)$
Lo que he hecho hasta ahora:
$\displaystyle \mathcal{F}\left[\frac{\partial u}{\partial t}\right] = k\mathcal{F}\left[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right]+c\mathcal{F}\left[\frac{\partial u}{\partial x}\right]$
...
$\displaystyle \frac{dU}{dt}=-k\omega^2U-ci\omega U$
$\displaystyle \implies U(\omega,t)=C(\omega)e^{-k\omega^2t}e^{-ci\omega t}$
$\displaystyle u(x,0)=f(x)\implies U(\omega,t)=F(\omega)e^{-k\omega^2t}e^{-ci\omega t}$
Dejemos que $\displaystyle G(\omega)=e^{-k\omega^2t}e^{-ci\omega t}$ y $H(\omega)=F(\omega)G(\omega)$
Entonces $U(\omega,t)=H(\omega)$
$\mathcal{F}^{-1}[U(\omega,t)]=\mathcal{F}^{-1}[H(\omega)]$
$\displaystyle \implies u(x,t)=h(x)$
$\displaystyle = \int_{-\infty}^\infty F(\omega)G(\omega)e^{-i\omega x}\,dx$
$\displaystyle = \int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{-k\omega^2t}e^{-ci\omega t}e^{-i\omega x}\,dx$ (Atascado aquí, al intentar hacer la inversión....)
