Transformada inversa de Fourier para la solución de la ecuación de difusión con convección

Question

Mi pregunta:

¿Cómo puedo completar la transformada inversa de Fourier de:

$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{-k\omega^2t}e^{-ci\omega t}e^{-i\omega x}\,dx$

No sé cómo utilizar el teorema de desplazamiento/convolución aquí.

El problema:

Resolver la ecuación de difusión con convección:

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+c\frac{\partial u}{\partial x}, -\infty \lt x \lt \infty$

$\displaystyle u(x,0)=f(x)$

Lo que he hecho hasta ahora:

$\displaystyle \mathcal{F}\left[\frac{\partial u}{\partial t}\right] = k\mathcal{F}\left[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right]+c\mathcal{F}\left[\frac{\partial u}{\partial x}\right]$

...

$\displaystyle \frac{dU}{dt}=-k\omega^2U-ci\omega U$

$\displaystyle \implies U(\omega,t)=C(\omega)e^{-k\omega^2t}e^{-ci\omega t}$

$\displaystyle u(x,0)=f(x)\implies U(\omega,t)=F(\omega)e^{-k\omega^2t}e^{-ci\omega t}$

Dejemos que $\displaystyle G(\omega)=e^{-k\omega^2t}e^{-ci\omega t}$ y $H(\omega)=F(\omega)G(\omega)$

Entonces $U(\omega,t)=H(\omega)$

$\mathcal{F}^{-1}[U(\omega,t)]=\mathcal{F}^{-1}[H(\omega)]$

$\displaystyle \implies u(x,t)=h(x)$

$\displaystyle = \int_{-\infty}^\infty F(\omega)G(\omega)e^{-i\omega x}\,dx$

$\displaystyle = \int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{-k\omega^2t}e^{-ci\omega t}e^{-i\omega x}\,dx$ (Atascado aquí, al intentar hacer la inversión....)

Answer 1

Supongamos que $u(t, x)$ una solución al pde original, entonces define $v(t, x)= e^{-ct}u(t, x)$ . Observar $$\begin{align} v_t-k v_{xx} =&\ -ce^{-ct}u(t, x)+e^{ct}u_t(t, x)-ke^{ct}u_{xx}(t, x) \\ =&\ e^{ct}(u_t(t, x)-ku_{xx}(t, x)-cu(t, x)) = 0 \end{align}$$ que es sólo la ecuación del calor. Ahora resuélvela con la transformada de Fourier o lo que quieras. Entonces vemos que $$\begin{align} u(t, x) = e^{ct}v(t, x) \end{align}$$ es su solución.