Encuentra la ecuación del círculo.

Question

Hallar la ecuación del círculo cuyo radio es $5$ que toca el círculo $x^2 + y^2 - 2x -4y - 20 = 0$ externamente en el punto $(5,5)$

Answer 1

Sugerencia :

Del hecho de que los círculos se toquen externamente en $(5,5)$ se deduce que $(5,5)$ está en el segmento de línea que une los centros del círculo.

Answer 2

El círculo: $x^2+y^2-2x-4y-20=0$ tiene centro $(1, 2)$ y un radio $=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2-(-20)}=5$ y el círculo desconocido tiene un radio $5$ De ahí el punto $(5, 5)$ es el punto medio de la línea que une sus centros

Sea el centro del círculo desconocido $(a, b)$ entonces el punto $(5, 5)$ es el punto medio de las líneas que unen los centros $(a, b)$ & $(1, 2)$ por lo que tenemos $$\left(\frac{a+1}{2}, \frac{b+2}{2}\right)\equiv(5, 5)$$ comparando las coordenadas correspondientes obtenemos $$\frac{a+1}{2}=5\implies a=9$$ $$\frac{b+2}{2}=5\implies b=8$$ Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia con centro $(9, 8)$ y un radio $5$ se da como $$(x-9)^2+(y-8)^2=5^2=25$$ $$\color{blue}{(x-9)^2+(y-8)^2=25}$$

Answer 3

SUGERENCIA:

$(x-a)^2+(y-b)^2=5^2$ tocará $(x-1)^2+(y-2)^2=5^2$

si $5+5=\sqrt{(a-1)^2+(b-2)^2}$

Otra vez, $(a,b), (1,2), (5,5)$ son colineales.

Así, tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas

Answer 4

Expresa que el círculo pasa por el punto $(5,5)$

$$(5-x_c)^2+(5-y_c)^2=5^2,$$

y que los gradientes son colineales en este punto

$$(x_c-5)(2\cdot5-4)-(y_c-5)(2\cdot 5-2)=0.$$

De la segunda ecuación,

$$y_c=\frac{3x_c+5}4,$$ y enchufando el primero,

$$x_c^2-10x_c+9=0.$$

Las soluciones son $(x_c,y_c)=(1,2)$ y $(9,8)$ y elegimos la segunda.

$$\color{green}{(x-9)^2+(y-8)^2=5^5}.$$

Answer 5

Gracias por la gran ayuda chicos. Permítanme compartir mi solución para este número.

Tengo que llegar primero al centro de $x^2+y^2-2x-4y-20=0$ $$(x-1)^2+(y-2)^2=5^2$$ De ello se deduce que el centro es $(1,2)$ .

Obtendré la distancia del centro a $(5,5)$ . $d=5$ significa que el radio es $5$ , lo mismo con el radio de otro círculo externo.

Por lo tanto, tengo $P_1 = (1,2)$ , $P_2 = (5,5)$ , $P_3 = (x,y)$ . Puedo utilizar la fórmula de la mediana para obtener $P_3$ dado que $(5,5)$ será la mediana. Tengo $P_3 = (9,8)$ .

Ahora tengo el centro del otro círculo que es $(9,8)$ , hago una fórmula de forma estándar para el círculo.

$(h,k) = (9,8)$ Radio $5$ unidades

FORMULARIO ESTÁNDAR $$(x-9)^2 + (y-8)^2 = 5^2$$ FORMULARIO GENERAL $$x^2+y^2-18x-16y+120= 0$$ ¡Muchas gracias! :)