¿Cómo pensar en los anillos CM?

Question

Hay algunas preguntas sobre los anillos CM y la profundidad.

1. ¿Por qué se considera el concepto de profundidad? ¿Hay algún significado geométrico asociado a ello? La consideración de secuencia regular me parece bien. (actualmente lo considero como una generalización del divisor no-cero que se necesita para llevar a cabo el argumento de inducción, por ejemplo, como en $\operatorname{dim} \frac{M}{(a_1,\cdots,a_n)M} = \operatorname{dim} M - n$ para $M$ -secuencia regular $a_1,\cdots,a_n$ corrígeme si me equivoco). Pero no entiendo por qué la longitud de una secuencia regular máxima es de interés. ¿Es simplemente debido a alguna consideración técnica en cohomología que queremos muchos $\operatorname{Ext}$ ¿Grupos que desaparecen?

2. ¿Qué significa geométricamente los anillos CM? Según he leído en el libro de Eisenbud, no parece haber un concepto geométrico exacto que le corresponda. No obstante, me gustaría conocer alguna intuición geométrica de los anillos CM. Sé que deben ser localmente equidimensionales. Algunos ejemplos de anillos CM provienen de la intersección completa (lo he leído en la wiki). ¿Pero qué más?

3. ¿Por qué nos importan los anillos de CM? Si lo entiendo bien, el teorema de los anillos CM <=> no mixtos se cumple para cada ideal de un anillo noetheriano, lo que debería significar que todos los subesquemas cerrados tienen componentes irreducibles equidimensionales (y no hay componentes incrustados). Esto parece bastante restrictivo.

Gracias.

Answer 1

"Realmente vale la pena vivir en un anillo noetheriano R cuando todos los anillos locales tienen la propiedad de que cada s.o.p. es una secuencia R. Tal anillo se llama Cohen-Macaulay (C-M para abreviar)": Hochster, 1978

La sección 3 de ese documento está dedicada a explicar lo que "realmente significa" ser Cohen-Macaulay. Comienza con una larga subsección sobre la teoría de invariantes, pero luego llega a algo de geometría algebraica que te interesará.

En particular, señala que si $R$ es un álgebra graduada estándar sobre un campo, entonces es un álgebra de módulo finito sobre un subringulo polinómico $S$ y que $R$ es Cohen-Macaulay si y sólo si es libre como un $S$ -módulo. Equivalentemente, las fibras teóricas del esquema del morfismo finito $\mathrm{Spec}\ R \to \mathrm{Spec}\ S$ todos tienen la misma longitud.

Al final de la sección 3, Hochster explica que la condición CM es exactamente lo que se requiere para que la multiplicidad de intersección "funcione correctamente": Si $X$ y $Y$ son CM, entonces se puede calcular la multiplicidad de intersección de $X$ y $Y$ sin todos esos altos $\mathrm{Tor}$ s que Serre tuvo que añadir a la definición.

Da muchos ejemplos y explica "de dónde viene la Cohen-Macaulayness" (o no) en cada uno de ellos. El conjunto es eminentemente legible y muy recomendable.

Answer 2

Si no recuerdo mal, CM equivale a pedir que el complejo dualizador (la generalización del haz de líneas canónico) sea una gavilla, en lugar de un complejo más general (mientras que Gorenstein pide que sea de hecho un haz de líneas). En otras palabras, estamos clasificando las singularidades según lo razonable que sea la teoría de las formas de volumen que admiten.

Answer 3

Geométricamente, la profundidad es la medición de la "dimensión" a través de las hipersuperficies. El conjunto de los divisores de cero es la unión de los primos asociados, por lo que decir que un elemento x es un divisor no nulo es decir que no está contenido en ningún primo asociado. Así, la hipersuperficie $V(x)$ no se cruza con $M$ en un componente.

La otra condición de una secuencia regular es que $xM\neq M$ lo que equivale a decir que la hipersuperficie $V(x)$ debe intersecar $M$ en alguna parte.

Así que, básicamente, estás reduciendo $M$ por hipersuperficies. Como no pueden intersecarse en un componente, en realidad lo reducen en cierta medida, y como deben intersecarse en alguna parte no están tirando todo a la vez. Esta es una descripción muy floja, pero no tengo tiempo ahora para hacerla más precisa.

Si se observan los cocientes de los anillos polinómicos, se puede ver cómo funciona esto. Aquí se puede calcular la profundidad haciendo dibujos: toma un ideal $I$ en $k[x,y,z]$ decir, y mirar $V(I)$ . Encuentre alguna hipersuperficie (un plano en este caso) que intersecte $V(I)$ pero no en un componente. A continuación, repita en esta intersección. De este modo, deberías ser capaz de encontrar el ejemplo clásico de una secuencia regular que no permanece regular bajo permutación. También puedes convencerte de que en un anillo local, todas las permutaciones son regular.

En esta interpretación, los anillos CM son exactamente aquellos para los que se puede medir la dimensión utilizando hipersuperficies de esta manera.

Tengo algo de prisa para coger un vuelo (¡mala hora para mirar mathoverflow!), así que puede haber algunos errores, pero la idea es sólida.

Answer 4

Una forma de pensar en la Cohen-Macaulayness (probablemente no en la mayor generalidad, pero al menos en el contexto relevante para la combinatoria) es la siguiente:

Piensa primero en el anillo de polinomios simétricos en $n$ variables. Un hecho notable del primer año de álgebra lineal es que este anillo es un anillo de polinomios en algunas otras variables, los polinomios simétricos elementales.

Ser un anillo polinómico es raro (pero es una especie de modelo). Ser Cohen-Macaulay se acerca. Un anillo de Cohen Macaulay puede describirse como una suma directa en la que cada sumando $S_i$ es de la forma $\eta_i R$ , donde $R$ es un anillo polinómico (cuyas variables son los elementos de un sistema de parámetros) y $\eta_i$ son elementos. Aquí es importante la suma directa.

En el caso de los anillos graduados, esta descripción tiene notables consecuencias combinatorias.

Answer 5

Uno debería preocuparse por los anillos y esquemas CM, por ejemplo, porque tienen buenas propiedades de dualidad; véase, por ejemplo, el teorema de dualidad de Serre en Hartshorne III.7.

Hay Serre's $S_n$ propiedades que generalizan la CM. $S_1$ significa "sin componentes incrustados" (si X se reduce, esto es automático, por supuesto), y $S_2$ significa " $S_1$ y X está saturado en codimensión 2". Ambas propiedades tienen un claro significado geométrico. Ahora se puede considerar que CM es "así de bueno, e incluso mejor".