$p(x,y)=\frac{xy^2}{30}$ sea la PMF conjunta de las variables aleatorias discretas X e Y con el soporte $S=\{(x,y):x\in\{1,2,3\}, y\in\{1,2\}\}$
Calcula $E(X-2Y)$
La pregunta es si puedo expandirme para ser $E(X)-2E(Y)$ ? (por linealidad)?
Respuesta
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Calculamos el PMF marginal de $X$ sumando la PMF conjunta sobre los posibles valores de $Y$ : \begin{align} \mathbb P(X=1) = \mathbb P(X=1,Y=1) + \mathbb P(X=1,Y=2) = \frac{1\cdot1^2}{30} + \frac{1\cdot 2^2}{30} = \frac16\\ \mathbb P(X=2) = \mathbb P(X=2,Y=1) + \mathbb P(X=2,Y=2) = \frac{2\cdot1^2}{30} + \frac{2\cdot 2^2}{30} = \frac13\\ \mathbb P(X=3) = \mathbb P(X=3,Y=1) + \mathbb P(X=3,Y=2) = \frac{3\cdot1^2}{30} + \frac{3\cdot 2^2}{30} = \frac12, \end{align} y de forma similar el PMF marginal de $Y$ : \begin{align} \mathbb P(Y=1) &= \mathbb P(X=1,Y=1) + \mathbb P(X=2,Y=1) + \mathbb P(X=3,Y=1)\\ &= \frac{1\cdot 1^2}{30} + \frac{2\cdot1^2}{30} + \frac{3\cdot1^2}{30}\\ &= \frac 15\\ \mathbb P(Y=2) &=\mathbb P(X=1,Y=2) + \mathbb P(X=2,Y=2) + \mathbb P(X=3,Y=2)\\ &= \frac{1\cdot 2^2}{30} + \frac{2\cdot2^2}{30} + \frac{3\cdot2^2}{30}\\ &= \frac 45. \end{align} La expectativa de $X$ viene dada por \begin{align} \mathbb E[X] &= 1\cdot\mathbb P(X=1) + 2\cdot\mathbb P(X=2) + 3\cdot\mathbb P(X=3) \\ &= 1\cdot\frac16+2\cdot\frac13+3\cdot\frac12\\ &= \frac73, \end{align} y la expectativa de $Y$ por \begin{align} \mathbb E[Y] &= 1\cdot\mathbb P(Y=1) + 2\cdot\mathbb P(Y=2)\\ &= 1\cdot\frac15 + 2\cdot\frac45 = \frac95. \end{align} De la linealidad de la expectativa se deduce que $$ \mathbb E[X-2Y] = \mathbb E[X] - 2\mathbb E[Y] = \frac73 -2\cdot\frac95 = -\frac{19}{15}. $$
