¿Álgebra de Clifford como adjunto?

Question

Antecedentes

Por definición (¡aunque se trata de una cuestión categórica!) acordemos que un espacio vectorial es un espacio vectorial real de dimensión finita y que un álgebra asociativa es un álgebra asociativa real unital de dimensión finita.

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial con una forma bilineal simétrica no degenerada $B$ y que $Q(x) = B(x,x)$ sea la forma cuadrática asociada. Llamemos al par $(V,Q)$ a espacio vectorial cuadrático .

Dejemos que $A$ sea un álgebra asociativa y digamos que un mapa lineal $\phi:V \to A$ es Clifford si $$\phi(x)^2 = - Q(x) 1_A,$$ donde $1_A$ es la unidad en $A$ .

Una forma de definir el álgebra de Clifford asociada a $(V,Q)$ es decir que es universal para los mapas Clifford de $(V,Q)$ . Categóricamente, se define una categoría cuyos objetos son pares $(\phi,A)$ que consiste en un álgebra asociativa $A$ y un mapa de Clifford $\phi: V \to A$ y cuyas flechas $$h:(\phi,A)\to (\phi',A')$$ son morfismos $h: A \to A'$ de álgebras asociativas tales que el triángulo obvio conmuta: $$h \circ \phi = \phi'.$$ Entonces el Álgebra de Clifford de $(V,Q)$ es el objeto inicial universal de esta categoría. En otras palabras, es un par $(i,Cl(V,Q))$ donde $Cl(V,Q)$ es un álgebra asociativa y $i:V \to Cl(V,Q)$ es un mapa de Clifford, tal que para cada mapa de Clifford $\phi:V \to A$ existe un morfismo único $$\Phi: Cl(V,Q) \to A$$ ampliando $\phi$ es decir, que $\Phi \circ i = \phi$ .

(Esta es la definición habitual que se puede encontrar, por ejemplo, en el nLab .)

Pregunta

Me gustaría ver la construcción del álgebra de Clifford como un functor de la categoría de espacios vectoriales cuadráticos a la categoría de álgebras asociativas. La propiedad universal dice que si $(V,Q)$ es un espacio vectorial cuadrático y $A$ es un álgebra asociativa, entonces existe una biyección de conjuntos hom

$$\mathrm{hom}_{\mathbf{Assoc}}(Cl(V,Q), A) \cong \mathrm{cl-hom}(V,A)$$

donde el lado izquierdo son los morfismos del álgebra asociativa y el lado derecho son los morfismos de Clifford.

Mi pregunta es si puedo ver $Cl$ como un functor adjunto de alguna manera. En otras palabras, ¿existe alguna categoría $\mathbf{C}$ tal que el lado derecho es $$\mathrm{hom}_{\mathbf{C}}((V,Q), F(A))$$ para algún functor $F$ de las álgebras asociativas a $\mathbf{C}$ . Ingenuamente diría que $\mathbf{C}$ debería ser la categoría de los espacios vectoriales cuadráticos, pero no se me ocurre una $F$ .

Pido disculpas si esta pregunta es un poco vaga. No soy una persona muy categórica, pero estoy preparando unos apuntes para un curso de posgrado sobre geometría del espín el próximo semestre y la pregunta me surgió.

Answer 1

Espero una segunda opinión sobre esta cuestión. A mí se me ocurrió la misma pregunta y Google me llevó a este hilo. A primera vista, la respuesta consensuada aquí (no hay articulación derecha a $Cl$ ) parece un argumento plausible. Pero después de pensarlo un poco, no estoy convencido.

Sabemos que una construcción universal, si existe para cada objeto de la categoría origen, siempre da una adjunción entre categorías.

Un objeto que satisface la propiedad universal para un álgebra de Clifford puede construirse explícitamente a partir de cualquier espacio vectorial con forma cuadrática como cociente del álgebra tensorial. Así que un objeto que satisface la propiedad universal siempre existe, por lo tanto es un conjunto a la izquierda. ¿Y cuál debería ser el functor derecho-adjunto al functor de Clifford? Pues nada más que el mapa subyacente de álgebras asociativas a espacios cuadráticos, con forma cuadrática $q(x)=x^2$ . Esta es la única forma cuadrática posible en los espacios vectoriales subyacentes que hará la estipulación en la construcción universal sobre los mapas lineales en morfismos en la categoría de espacios vectoriales cuadráticos.

Debería concluir que la unión derecha de $Cl$ es un functor de olvido $k\text{-Alg}\to k\text{-Quad}$ que toma un álgebra asociativa y se olvida de la multiplicación pero recuerda cómo elevar al cuadrado los vectores. La unidad de esta adjunción es el mapa de estructura del álgebra de Clifford, y el conejo es el mapa del álgebra de Clifford sobre el espacio vectorial cuadrático subyacente a cualquier álgebra $A$ a $A$ que lleva $a_1\cdot a_2\mapsto a_1a_2$ .

Por supuesto, esta es exactamente la respuesta no aceptada que da sdcvvc más arriba, aunque sin muchos detalles. Qiaochu Yuan dice que la forma cuadrática que se reclama $q(x)=x^2$ en el espacio vectorial subyacente de un álgebra asociativa no es realmente cuadrática. No veo por qué no. ¿Por qué es incorrecta la respuesta de sdcvvc?

Alberto García-Raboso también da una respuesta, donde en la discusión se establece que $Cl$ preserva los coproductos finitos. Si también podemos demostrar que preserva los cokernels, entonces sabemos que debe tener una unión a la derecha, por el teorema del functor adjunto de Freyd, ¿no?

¿Y he entendido mal las relaciones entre los morfismos universales y las adjunciones? ¿No es el caso que podemos simplemente leer el functor adjunto fuera de la propiedad universal?

¿Y realmente necesitamos considerar, como sugiere Andrew Stacy, algún tipo de espacios vectoriales puntuales? Si es así, ¿por qué?

Quería publicar mis preguntas como comentarios, no como respuesta, pero creo que no tengo suficientes rep. Por favor, perdóname.