¿Álgebra de Clifford como adjunto?

Question

Antecedentes

Por definición (¡aunque se trata de una cuestión categórica!) acordemos que un espacio vectorial es un espacio vectorial real de dimensión finita y que un álgebra asociativa es un álgebra asociativa real unital de dimensión finita.

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial con una forma bilineal simétrica no degenerada $B$ y que $Q(x) = B(x,x)$ sea la forma cuadrática asociada. Llamemos al par $(V,Q)$ a espacio vectorial cuadrático .

Dejemos que $A$ sea un álgebra asociativa y digamos que un mapa lineal $\phi:V \to A$ es Clifford si $$\phi(x)^2 = - Q(x) 1_A,$$ donde $1_A$ es la unidad en $A$ .

Una forma de definir el álgebra de Clifford asociada a $(V,Q)$ es decir que es universal para los mapas Clifford de $(V,Q)$ . Categóricamente, se define una categoría cuyos objetos son pares $(\phi,A)$ que consiste en un álgebra asociativa $A$ y un mapa de Clifford $\phi: V \to A$ y cuyas flechas $$h:(\phi,A)\to (\phi',A')$$ son morfismos $h: A \to A'$ de álgebras asociativas tales que el triángulo obvio conmuta: $$h \circ \phi = \phi'.$$ Entonces el Álgebra de Clifford de $(V,Q)$ es el objeto inicial universal de esta categoría. En otras palabras, es un par $(i,Cl(V,Q))$ donde $Cl(V,Q)$ es un álgebra asociativa y $i:V \to Cl(V,Q)$ es un mapa de Clifford, tal que para cada mapa de Clifford $\phi:V \to A$ existe un morfismo único $$\Phi: Cl(V,Q) \to A$$ ampliando $\phi$ es decir, que $\Phi \circ i = \phi$ .

(Esta es la definición habitual que se puede encontrar, por ejemplo, en el nLab .)

Pregunta

Me gustaría ver la construcción del álgebra de Clifford como un functor de la categoría de espacios vectoriales cuadráticos a la categoría de álgebras asociativas. La propiedad universal dice que si $(V,Q)$ es un espacio vectorial cuadrático y $A$ es un álgebra asociativa, entonces existe una biyección de conjuntos hom

$$\mathrm{hom}_{\mathbf{Assoc}}(Cl(V,Q), A) \cong \mathrm{cl-hom}(V,A)$$

donde el lado izquierdo son los morfismos del álgebra asociativa y el lado derecho son los morfismos de Clifford.

Mi pregunta es si puedo ver $Cl$ como un functor adjunto de alguna manera. En otras palabras, ¿existe alguna categoría $\mathbf{C}$ tal que el lado derecho es $$\mathrm{hom}_{\mathbf{C}}((V,Q), F(A))$$ para algún functor $F$ de las álgebras asociativas a $\mathbf{C}$ . Ingenuamente diría que $\mathbf{C}$ debería ser la categoría de los espacios vectoriales cuadráticos, pero no se me ocurre una $F$ .

Pido disculpas si esta pregunta es un poco vaga. No soy una persona muy categórica, pero estoy preparando unos apuntes para un curso de posgrado sobre geometría del espín el próximo semestre y la pregunta me surgió.

Answer 1

He aquí otra propuesta. La clave será ampliar la categoría de espacios vectoriales cuadráticos de forma bastante sustancial. Aquí hay tres pistas que conducen a la propuesta:

• Las álgebras de Clifford pueden y deben ser consideradas como $\mathbb{Z}_2$ -graduada; por ejemplo, las álgebras de Clifford sobre $\mathbb{R}$ dar cada elemento de la $\mathbb{Z}_2$ -grupo Brauer graduado / grupo Brauer-Wall de $\mathbb{R}$ .
• Pensando en las álgebras de Clifford como deformaciones de álgebras exteriores, las deformaciones análogas de álgebras simétricas son las álgebras de Weyl. Es posible combinar la construcción de álgebras exteriores y álgebras simétricas en una sola construcción, a saber, la construcción del álgebra simétrica sobre un superespacio vectorial.
• Las álgebras de Weyl son álgebras envolventes casi universales de ciertas álgebras de Lie. Más precisamente, dejemos que $(V, \omega)$ sea un espacio vectorial simpléctico. A partir de estos datos podemos construir un álgebra de Lie $V \oplus \mathbb{R}$ tal que $\mathbb{R}$ es central y $[v, w] = \omega(v, w) \in \mathbb{R}$ donde $v, w \in V$ . Entonces el álgebra de Weyl construida a partir de $(V, \omega)$ es el cociente del álgebra envolvente universal $U(V \oplus \mathbb{R})$ por la relación extra que $1 \in \mathbb{R}$ actúa como la identidad.

Así que vamos a intentar esto:

Existe un funtor de olvido de las superálgebras a una cierta categoría de superálgebras de Lie con estructura extra cuyo adjunto izquierdo restringe a 1) el funtor de álgebra simétrica, 2) el funtor de álgebra exterior, 3) el funtor de álgebra de Weyl, 4) el funtor de álgebra de Clifford y 5) el funtor de álgebra envolvente universal en subcategorías adecuadas.

Este adjunto de la izquierda generaliza todos los funtores discutidos anteriormente. Algunos detalles:

La primera categoría $\text{SAlg}$ la categoría de las superálgebras, es la categoría de los objetos monoides en los superespacios vectoriales. Como categoría, puede considerarse como la categoría de $\mathbb{Z}_2$ -pero como categoría simétrica monoidal tiene un trenzado no trivial dado por la regla de signos de Koszul, como es habitual. En particular, una superálgebra conmutativa es conmutativa en el sentido super, no en el sentido habitual.

La segunda categoría parte de la categoría $\text{SLieAlg}$ de las súper álgebras de Lie, que es la categoría de los objetos de las álgebras de Lie en los súper espacios vectoriales; aquí es muy importante distinguir esta categoría de la categoría de $\mathbb{Z}_2$ -Las álgebras de Lie graduadas porque la regla del signo de Koszul cambia algunos signos en los axiomas del álgebra de Lie. En particular, el axioma de la simetría oblicua se convierte en

$$[x, y] = - (-1)^{|x| |y|} [y, x]$$

para elementos homogéneos $x, y$ . Por lo tanto, si cualquiera de los dos $x$ o $y$ es par, entonces se trata de una simetría oblicua en el sentido habitual, pero si $x$ y $y$ son ambos Impares entonces tenemos realmente simetría. Esto es crucial.

La categoría que nos interesa no es precisamente esta categoría, sino la categoría de las superálgebras de Lie $\mathfrak{g}$ equipado con un morfismo $\mathbb{R}[0] \to \mathfrak{g}$ , donde $\mathbb{R}[0]$ denota el álgebra de Lie abeliana $\mathbb{R}$ en grado $0$ , con imagen central. Esto podría llamarse la categoría de "súper álgebras de Lie centralmente apuntadas", tal vez.

El functor de olvido de $\text{SAlg}$ a la categoría anterior envía una superálgebra $A$ al superespacio vectorial subyacente de $A$ equipado con el soporte super Lie

$$[x, y] = xy - (-1)^{|x| |y|} yx$$

en elementos homogéneos, con el mapa $\mathbb{R}[0] \to A$ que viene dado por el elemento unitario de $A$ .

El adjunto izquierdo de este functor de olvido envía $\mathbb{R}[0] \to \mathfrak{g}$ al cociente del álgebra universal envolvente (super) $U(\mathfrak{g})$ por la relación extra que $1 \in \mathbb{R}[0]$ actúa como la identidad. También llamaré a este functor $U$ . Aquí están las cinco subcategorías prometidas (no son subcategorías completas):

• Dado un espacio vectorial $V$ y enviarlo al súper álgebra de Lie abeliana $V[0] \oplus \mathbb{R}[0]$ . Entonces $U(V[0] \oplus \mathbb{R}[0])$ es el álgebra simétrica en $V$ .
• Dado un espacio vectorial $V$ envíelo a $V[1] \oplus \mathbb{R}[0]$ . Entonces $U(V[1] \oplus \mathbb{R}[0])$ es el álgebra exterior en $V$ .
• Dado un espacio vectorial simpléctico $(V, \omega)$ envíelo a $V[0] \oplus \mathbb{R}[0]$ con el paréntesis dado por $\omega$ como se ha comentado anteriormente. A continuación, $U(V[0] \oplus \mathbb{R}[0])$ es el álgebra de Weyl de $(V, \omega)$ .
• Dado un espacio vectorial cuadrático $(V, Q)$ , dejemos que $B(v, w) = Q(v + w) - Q(v) - Q(w)$ sea el doble de la forma bilineal simétrica determinada por $Q$ y enviarlo a $V[1] \oplus \mathbb{R}[0]$ con el paréntesis dado por $B$ como se ha comentado anteriormente para el álgebra de Weyl. Entonces $U(V[1] \oplus \mathbb{R}[0])$ es el álgebra de Clifford de $(V, Q)$ .
• Dado un álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ envíelo a $\mathfrak{g}[0] \oplus \mathbb{R}[0]$ . Entonces $U(\mathfrak{g}[0] \oplus \mathbb{R}[0])$ es el álgebra envolvente universal habitual de $\mathfrak{g}$ .

Answer 2

Descalificador: esta no es una respuesta completa.

Aquí hay un problema básico de "tiza y queso". Las "categorías" que estás comparando son de dos tipos diferentes, aunque parezcan similares en la superficie. Por un lado tienes una categoría algebraica honesta: la de las álgebras asociativas. Pero la otra categoría (que, hay que reconocerlo, no está definida con precisión) es la de "espacios vectoriales más formas cuadráticas". Se trata de no algebraica (sobre Set). No hay un "espacio vectorial libre con una forma cuadrática no degenerada" y (probablemente) habrá muchas otras cosas que no funcionan del todo como uno esperaría para las categorías algebraicas. Por ejemplo, como se requiere la no degeneración, todos los morfismos tienen que ser mapas lineales inyectivos, lo que los limita mucho. Podrías añadir formas cuadráticas degeneradas (lo que significa, como sugiere AGR, que consideras las álgebras exteriores como una especie de álgebra de Clifford degenerada, aunque no es una mala idea), pero esto sigue sin conseguir la algebraicidad: el problema es que la forma cuadrática va fuera del espacio vectorial, no dentro de él, por lo que no es una "operación".

Sin embargo, es posible que obtengas algo de provecho si trabajas con puntiagudo objetos. No estoy seguro de mi terminología aquí, pero quiero decir que tenemos una categoría $\mathcal{C}$ y algún objeto distinguido $C_0$ y considerar la categoría $(C,\eta,\epsilon)$ donde $\eta : C_0 \to C$ , $\epsilon : C \to C_0$ son tales que $\epsilon \eta = I_{C_0}$ . En Set, tomamos $C_0$ como un conjunto de un punto. En una categoría algebraica, tomamos $C_0$ como lo libre en un objeto. Entonces la categoría algebraica puntiforme correspondiente es algebraica sobre la categoría de conjuntos puntiformes (¡creo!).

El punto (ja, ja) de esto es que en la categoría de álgebras asociativas puntiformes sí se tiene un mapa de "traza": $\operatorname{tr} : A \to \mathbb{R}$ dado por $(a,b) \mapsto \epsilon(a \cdot b)$ . Por lo tanto, se debe trabajar en la categoría de asociativo puntiagudo $\mathbb{Z}/2$ -Las álgebras graduadas cuyo mapa de trazas es simétrico graduado.

En la categoría de espacios vectoriales puntuales, se pueden definir de forma similar las formas cuadráticas como operaciones. Se necesita una operación binaria $b : |V| \times |V| \to |V|$ (sólo estos productos son de puntiagudo conjuntos) y la identidad $\eta \epsilon b = b$ para garantizar que $b$ realmente aterriza en el $\mathbb{R}$ -componente de $V$ (más la simetría).

Mientras que añadir la condición de apuntamiento no es trivial para las álgebras, es efectivamente trivial para los espacios vectoriales, ya que hay un functor obvio de los espacios vectoriales a los espacios vectoriales apilados, $V \mapsto V \oplus \mathbb{R}$ que es una equivalencia de categorías.

Suponiendo que todos los $\imath$ s se pueden cruzar y todos los $l$ s punteados, el functor que se quiere es ahora el functor de olvido de álgebras asociativas punteadas a espacios vectoriales cuadráticos punteados.

Answer 3

Esta respuesta se basa en la respuesta de sdcvvc y en los comentarios que aparecen a continuación, y en particular se refiere a la (no) existencia de una forma cuadrática canónica $q$ (en la notación de sdcvvc).

Permítanme denotar por $\mathcal{Q}$ la categoría de espacios vectoriales reales cuadráticos (donde la forma bilineal simétrica no es necesariamente no degenerada), y por $\mathcal{A}$ alguna subcategoría de la categoría $\mathcal{A}ss$ de álgebras asociativas reales unitales de dimensión finita que contiene la imagen del functor de Clifford $\mathcal{C}l: \mathcal{Q} \to \mathcal{A}ss$ .

Observe que $\mathcal{Q}$ contiene $\mathrm{\mathbf{Vect}}_\mathbb{R}$ como la subcategoría completa cuyos objetos de la forma $(V, 0)$ y que la restricción del functor $\mathcal{C}l: \mathcal{Q} \to \mathcal{A}$ a esta subcategoría es el functor de álgebra exterior $V \mapsto \Lambda^{\ast}V$ . Entonces,

$$\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(\Lambda^\ast V, A) \cong \lbrace \phi: V \to A \; | \; \phi(v)^2 = 0 \rbrace$$

Puedes hacer $\Lambda^{\ast}(-)$ en un adjunto izquierdo restringiendo $\mathcal{A}$ para ser la categoría de $\mathbb{Z}_2$ -(¿tal vez se pueda tomar una subcategoría mayor?). El adjunto derecho debería ser entonces el functor que lleva dicha álgebra a su parte de grado impar considerada como un espacio vectorial. Esto hace que la condición de Clifford $\phi(v)^2 = 0$ trivialmente cierto.

Es esta última observación la que nos permite cocinar tal $\mathcal{A}$ . Sin embargo, en el caso general la condición de Clifford sí implica la forma cuadrática sobre el espacio vectorial que es el dominio, por lo que no me parece posible que podamos hacer algo como lo anterior de forma universal.

Answer 4

Si he entendido bien las definiciones:

Dejemos que $C$ sea la categoría de pares (V,q) donde V es un espacio vectorial sobre un campo fijo y q es una forma cuadrática. Un morfismo $f: (V,q) \rightarrow (V',q')$ es un mapa lineal $V \to V'$ preservando la forma cuadrática.

Dejemos que $D$ sea la categoría de las álgebras unitales sobre el campo. Los morfismos son mapas lineales que preservan la multiplicación y la identidad.

Tenemos un functor olvidadizo $D \rightarrow C$ que mapea un álgebra V al espacio vectorial cuadrático $ (V,q)$ donde $q(x)=(x \cdot x) \cdot 1$ . Este functor tiene como adjunto izquierdo la construcción del álgebra de Clifford.

(Soy inexperto, así que esto puede ser simplemente un error. Pero seguro que aquí se esconde un functor adjunto).

Answer 5

ACTUALIZACIÓN El siguiente argumento es erróneo, véase los comentarios.

Si $\mathcal{C}l$ admite un adjunto derecho, entonces preserva los colímites, y los coproductos en particular. Ahora, en su categoría de espacios vectoriales cuadráticos, el coproducto de $(V, Q)$ y $(V', Q')$ es $(V \oplus V', Q \oplus Q')$ para álgebras asociativas $A$ y $A'$ su coproducto viene dado por el producto tensorial sobre $\mathbb{R}$ . Por lo tanto, es necesario que $$\mathcal{C}l(V \oplus V', Q \oplus Q') \cong \mathcal{C}l(V, Q) \otimes_{\mathbb{R}} \mathcal{C}l(V', Q')$$

He aquí un contraejemplo: toma $V = V' = \mathbb{R}$ con $Q = Q' = -1$ . Por el clasificación de las álgebras de Clifford sabemos que $\mathcal{C}l(\mathbb{R}, -1) \cong \mathbb{C}$ y $\mathcal{C}l(\mathbb{R}^2, \mathrm{diag}(-1,-1)) \cong \mathbb{H}$ . Ahora basta con observar que $$\mathbb{H} \not\cong \mathbb{C} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} $$