Sobre el tiempo de parada en el movimiento browniano

Question

Estoy leyendo el libro Brownian Motion de Yuval peres y Peter Morters. Tengo problemas para entender la siguiente observación. En concreto, cómo el conjunto de la derecha es igual al conjunto de la izquierda. La observación es la siguiente,

Supongamos que $H$ es un conjunto cerrado, por ejemplo un singleton. Entonces el primer tiempo de golpeo $T=\inf \{t \geqslant 0: B(t) \in H\}$ del conjunto $H$ es un tiempo de parada con respecto a $\left(\mathcal{F}^{0}(t): t \geqslant 0\right)$ . De hecho, observamos que $$ \{T \leqslant t\}=\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{s \in \mathbb{Q} \cap(0, t)} \bigcup_{x \in \mathbb{Q}^{d} \cap H}\left\{B(s) \in \mathcal{B}\left(x, \frac{1}{n}\right)\right\} \in \mathcal{F}^{0}(t) . $$

Aquí, $\mathcal{F}^{0}(t) = \sigma\left(B(s): 0 \leq s \leq t \right)$

No entiendo por qué es cierto porque, si H un conjunto cerrado que no se cruza con $\mathbb{Q}^d$ entonces la intersección en el RHS estaría simplemente vacía.

Answer 1

Como se indica en los comentarios, la identidad no es correcta tal como está escrita. El argumento debería ser simplemente que existe un subconjunto contable $A \subseteq H$ que es denso en $H$ y luego $$ \{T \leqslant t\}=\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{s \in \mathbb{Q} \cap(0, t)} \bigcup_{x \in A}\left\{B(s) \in \mathcal{B}\left(x, \frac{1}{n}\right)\right\} \in \mathcal{F}^{0}(t) . $$