Si en un espacio topológico sólo finita subconjuntos compactos de conjuntos, es, entonces, el discreto espacio topológico?
Gracias.
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Kyle Rogers
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Un espacio topológico es anticompact si todo compacto conjuntos son finitos. En esta respuesta Stefan H señaló que una multitud innumerable con el cocountable topología es un ejemplo de un anticompact $T_1$-espacio que no es discreto. La línea real, con la topología generada por la costumbre de abrir los conjuntos y la cocountable conjuntos, es un ejemplo de un anticompact Hausdorff espacio que no es discreto.
El conjunto $\mathbb N$ de los números naturales, con la topología consta de los conjuntos que no se contienen a $1$ y los conjuntos de densidad asintótica $1$, es un ejemplo de una contables cero-dimensional espacio de Hausdorff, que es anticompact pero no discretos.
P. S. En el último ejemplo, en lugar de tomar los conjuntos de densidad asintótica $1$ como los barrios de el punto de $1$, podríamos tomar el conjuntos de $U$ tal que $\sum_{n\notin U}\frac1n\lt\infty$; tal vez este ejemplo es un poco más fácil o más familiar.
Etienne
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Los ejemplos dados por bof son bastante agradables.
Por otro lado, para $T_1$ y la primera contables espacios, siendo "anticompact" es equivalente a ser discreta. (Si usted requiere de espacios compactos para ser Hausdorff, como Bourbaki, a continuación, "$T_1$ " debe ser sustituido por el de "Hausdorff").
En efecto, supongamos que $X$$T_1$, de primera contables y anticompact espacio. Para mostrar que $X$ es discreta, es suficiente para demostrar que cualquier punto de $x\in X$ tiene un número finito de barrio (entonces, ya $X$$T_1$, de ello se sigue que, de hecho, cada punto es aislado).
Asumir que el punto de $x\in X$ tiene la propiedad de que cada barrio de $x$ es infinito. Deje $(V_n)_{n\in\mathbb N}$ ser una contables de base de los barrios para $x$. Desde cada una de las $V_n$ es infinito, se puede construir una secuencia $(x_n)\subset X$ de manera tal que el $x_n$ son parejas distintas y $x_n\in V_n$ todos los $n$. A continuación, la secuencia $(x_n)$ converge a $x$, lo $K=\{ x\}\cup\{ x_n;\;n\in\mathbb N\}$ es compacto. Esto contradice la anticompactness de $X$.
