¿De anillos conmutativos a espacios algebraicos en un salto?

Question

Típicamente, en el enfoque del functor de puntos, uno construye la categoría de espacios algebraicos construyendo primero la categoría de gavillas localmente representables para la topología global de Zariski (Schemes) en $CRing^{op}$ . Es decir, tomando la subcategoría completa de $Psh(CRing^{op})$ que consiste en objetos $S$ tal que $S$ es una gavilla en la topología global de Zariski y $S$ tiene una cobertura por representables en la topología inducida sobre $Psh(CRing^{op})$ . Esta es la categoría de los esquemas. A continuación, se toma esta categoría y se la equipa con la topología etale y se repite la construcción de gavillas localmente representables en este sitio (Sch con la topología etale) para obtener la categoría de espacios algebraicos.

¿Podemos "saltarnos" la categoría de esquemas por completo poniendo una topología diferente en $CRing^{op}$ ?

Mi intuición es que como todo esquema puede ser cubierto por afines, y todo espacio algebraico puede ser cubierto por esquemas, podemos eliminar el intermediario y simplemente definir los espacios algebraicos como gavillas localmente representables para la topología global etale en $CRing^{op}$ . Si esto acaba siendo así, ¿hay algún tipo de generalización adicional interesante antes de los apilamientos, quizás tomando gavillas localmente representables en una topología plana favorable a Zariski como fppf o fpqc?

Un poco de motivación: En geometría algebraica, todos nuestros datos provienen de anillos conmutativos de forma functorial (intencionadamente vaga). Todas las topologías de Grothendieck con bonitas nociones de descenso utilizadas en la geometría algebraica pueden expresarse en términos de anillos conmutativos, por ejemplo, las formas algebraicas y geométricas del teorema principal de Zariski son equivalentes, podemos describir morfismos etale en términos de mapas de anillos etale, etc. Lo que estoy tratando de ver es si realmente podemos expresar toda la geometría algebraica como "álgebra conmutativa zurda + gavillas (incluyendo gavillas superiores como las pilas)". El enfoque del functor de puntos para los esquemas valida esta intuición en el caso más simple, pero ¿realmente se generaliza más?

La pregunta principal está en cursiva, pero siéntase libre de decirme si he caracterizado incorrectamente algo en la motivación o el fondo.

Answer 1

Sí, la categoría de espacios algebraicos es la subcategoría más pequeña de la categoría de tramas de conjuntos sobre Aff, lo contrario de la categoría de anillos, bajo la topología etale que (1) contiene a Aff, (2) es cerrada bajo la formación de cocientes por relaciones de equivalencia etale, y (3) es cerrada bajo uniones disjuntas (indexadas por conjuntos arbitrarios). Un contexto abstracto para estas cosas está escrito en "Algebraization of complex analytic varieties and derived categories" de Toen y Vaquie, que está disponible en el archivo. Toen también tiene notas de un "curso magistral" sobre pilas en su página web con más información. Quizá valga la pena señalar que su construcción de esta categoría también pasa por un procedimiento de dos pasos, aunque en su caso se trata de una única construcción realizada de forma iterativa (y que se estabiliza después de dos pasos). Esto es diferente al enfoque que utiliza la teoría de esquemas en el sentido literal, como espacios topológicos localmente anillados, donde los dos pasos son completamente diferentes. Tras el primer paso en T-V, se obtienen espacios algebraicos con diagonal afín. También vale la pena señalar que su enfoque es completamente teórico de gavillas. Lo único que se necesita es una categoría de modelos locales, una topología de Grothendieck y una clase de relaciones de equivalencia. Entonces se obtienen espacios algebraicos a partir del triple (Aff, etale, etale). Pero la máquina general (que por cierto creo que no está en su forma definitiva) no tiene nada que ver con los anillos conmutativos. Creo que sería interesante introducir en ella los opuestos de otras categorías algebraicas.

Answer 2

Una pila de Deligne--Mumford es un topos localmente anillado que es localmente equivalente al topos localmente anillado de un esquema afín. Una pila de Deligne--Mumford es un espacio algebraico si su diagonal es una incrustación.