Mapeo continuo de la n-esfera a la (n+1)-esfera

Question

¿Existe alguna función "bonita" que pueda tomar un punto de la superficie de una n-esfera y llevarlo a la superficie de una (n+1)-esfera?

Por "bonito", quiero decir que debe ser continuo, uno a uno (pero no necesariamente sobre), y cubrir mucha superficie (no sólo $f(x) = (x, 0)$ ).

Answer 1

No. Teorema de Sard. Versión corta, la imagen de $\mathbb S^n$ tiene medida cero en $\mathbb S^{n+1}$ a menos que la cartografía sea altamente indiferenciable.

Answer 2

En primer lugar, no creo que esta pregunta tenga nada que ver con la topología algebraica per se. Parece que usted está pidiendo ejemplos incrustaciones topológicas $S^{n}\to S^{n+1}$ cuyas imágenes son positivas $n+1$ -medida de Lebesgue (así es como leo que la suya "cubre mucha superficie"). Puedes encontrar algunas construcciones de curvas de Jordan muy legibles $J$ en el plano que tienen medida de Lebesgue bidimensional positiva, por ejemplo aquí . (Tenga en cuenta que registrarse y leer en línea en Jstor es gratis.) Aplicando la inversa a la proyección estereográfica, se obtienen ejemplos en $S^2$ . Multiplicación de curvas $J$ como en el caso anterior por $[0,1]^{n-1}$ y añadiendo "parte superior e inferior plana" se obtienen ejemplos de $n$ -esferas topológicas en $R^{n+1}$ que tienen un resultado positivo $n+1$ -medida de Lebesgue.