¿Debe ser finito el conjunto de rectas que pasan por el origen en las que una función entera no constante está acotada?

Question

Si una función entera está acotada para todo $z \in \mathbb{C}$ que es una constante por el teorema de Liouville. Por supuesto que una función entera puede ser acotada en líneas que pasan por el origen $z=r \exp(i \phi), \phi= \text{const.}, r \in \mathbb{R}$ sin ser constante (por ejemplo $\cos(z^n)$ está acotado en $n$ líneas).

¿Cuál es la cardinalidad máxima del conjunto de "direcciones" $\phi$ para la que una función entera puede estar acotada sin ser constante?

Por intuición, yo esperaría que sólo hubiera un número finito de direcciones. ¿Es esto correcto?

(El segundo teorema de Picard dice que en cualquier conjunto abierto que contenga $\infty$ cada valor, posiblemente con una sola excepción, es tomado infinitamente por una función entera no constante. Aquí estoy haciendo una pregunta de alguna manera "ortogonal", buscando líneas a través de $\infty$ donde una función entera no constante está acotada).

Answer 1

Newman dio un ejemplo en 1976 de una función entera no constante limitada en cada línea que pasa por el origen en " Una función entera acotada en todas las direcciones ".

Me gusta la segunda frase del artículo:

Esto es exactamente lo que se necesita para confundir a los estudiantes que acaban de esforzarse por comprender el significado del teorema de Liouville.

Armitage dio ejemplos en 2007 de funciones enteras no constantes que van a cero en todas las direcciones en "Funciones enteras que tienden a cero en todas las líneas". Para esto sólo he visto el Revisión de MR . (Si no tiene acceso a MathSciNet, el enlace debería darle igualmente la información de publicación para encontrar el artículo).

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Actualización: Acabo de decidirme a echar un vistazo al documento de Armitage, y la introducción es esclarecedora:

Aunque toda función entera (holomorfa) acotada sobre $\mathbb{C}$ es constante (teorema de Liouville), se sabe desde hace más de cien años que existen funciones enteras no constantes $f$ tal que $f(z) → 0$ como $z →∞$ a lo largo de cada línea que pasa por 0 (véase, por ejemplo, el libro de Lindelöf [10, pp. 119-122] de 1905). Y desde hace más de ochenta años se sabe que tales funciones pueden tender a 0 a lo largo de cualquier línea (véase Mittag-Leffler [11], Grandjot [8] y Bohr [4]). En referencias a trabajos relacionados se dan en la revisión de Burckel [5] de la nota de Newman [12]. Las funciones enteras con decaimiento radial son utilizadas por Beardon y Minda [3] y Ullrich [14] en estudios de secuencias convergentes puntuales de funciones enteras.

Armitage continúa mencionando que Mittag-Leffler y Grandjot también dieron construcciones explícitas, pero afirma: "Los ejemplos dados en lo que sigue pueden, sin embargo ser de algún interés debido a su simplicidad comparativa". Los ejemplos son $$F(z)=\exp\left(-\int_0^\infty t^{-t}\cosh(tz^2)dt\right) - \exp\left(-\int_0^\infty t^{-t}\cosh(2tz^2)dt\right)$$ y $$G(z)=\int_0^\infty e^{i\pi t}t^{-t}\cosh(t\sqrt{z})dt\int_0^\infty e^{i\pi t}t^{-t}\cos(t\sqrt{z})dt .$$

Answer 2

La función Mittag-Leffler $E_{\alpha,1}$ , $\alpha>0$ está acotado en el sector $$\frac{\alpha\pi}{2}< \arg z<2\pi-\frac{\alpha\pi}{2}.$$

En particular, $e^z=E_{1,1}(z)$ está acotado en $$\frac{\pi}{2}< \arg z<\frac{3\pi}{2}.$$