$X+Y \sim N(5,5)$ dos variables aleatorias bi-variable normal

Question

El ejercicio es el siguiente. Sea $(X,Y)$ sea un vector normal bi-variable con $\mu=(2,3)$ y la matriz de covarianza $$\Sigma=\begin{pmatrix}1 & -2 \\ -2 & 4\end{pmatrix}.$$ ¿Cuál es la distribución de la variable aleatoria $X+Y$ ?

Mi intento es: Considerar las funciones generadoras de momentos de $X$ y $Y$ . Desde $\sigma_X^2=1$ , $\sigma_Y^2=4$ , $\mu_X=2$ y $\mu_Y=3$ tenemos $$\varphi_X(t)=\exp(2t+\frac{t^2}{2})$$ $$\varphi_Y(t)=\exp(3t+2t^2).$$

Así, $$\varphi_{X+Y}(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)=exp(5t+\frac{5t^2}{2}).$$

Por lo tanto, $X+Y\sim N(5,5)$ ya que la función generadora de momentos de una v.r. normal viene dada por $\varphi_X(t)=\exp(\mu_X t + \frac{\sigma_X^2 t^2}{2})$ .

Lo pregunto porque mi profesor puso como solución $X+Y\sim N(5,1)$ . ¿Algún comentario?

EDITAR:

Creo que no podemos utilizar $\varphi_{X+Y}(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)$ desde $X$ , $Y$ no son independientes.

Answer 1

La varianza de $X+Y$ es $$ \operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)=1+4+2\times(-2)=1. $$ Así que $N(5,1)$ es correcto. Su problema es la afirmación $\varphi_{X+Y}(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)$ que no funciona en este caso porque $X$ y $Y$ son dependientes.

Answer 2

Las dos distribuciones marginales son claramente no independientes, lo que significa que hay que encontrar la suma de dos gaussianos no i.i.d.

$X+Y \sim N(\mu_x + \mu_y, \sigma_x^2 + \sigma_y^2 +2 \sigma_{x,y})$