$\frac{(2n − 1)!!}{(2n)!!} \leq \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$ ¿por inducción?

Question

Dejemos que $(2n)!!$ sea el producto de todos los enteros positivos pares menores o iguales a $2n$ . Sea $(2n 1)!!$ sea el producto de todos los enteros positivos Impares menores o iguales a $(2n 1)$ . Demostrar que $$\frac{(2n 1)!!}{(2n)!!} \leq \frac{1}{\sqrt{2n+1}}.$$ Estoy hasta el paso inductivo, donde estoy atascado. No encuentro la forma de sustituir desde la suposición por la raíz cuadrada.

Answer 1

Esto no es una respuesta, pero te ayudaré a escribirlo de forma conveniente:

Tenga en cuenta que $$(2n)!!=2\times4\times\cdots\times(2n-2)\times(2n)=2^nn!$$ $$(2n-1)!!=1\times3\times\cdots\times(2n-3)\times(2n-1)=\dfrac{(2n-1)!}{2^{n-1}(n-1)!}.$$

Por lo tanto, $$\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=\dfrac{\dbinom{2n-1}{n}}{2^{2n-1}}.$$ De hecho, utilizando la inducción matemática se puede demostrar que para $n\gt 0,$$$ \dfrac{1}{2n+1}\lt\dfrac{\dbinom{2n-1}{n}}{2^{2n-1}}\lt\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}.$$

Answer 2

Hay que deducir de la hipótesis inductiva, a saber $$\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\le\frac1{\sqrt{2n+1}}$$ para algunos $n>0$ que $$\frac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!}\le\frac1{\sqrt{2n+3}}.$$ En cualquier caso se deduce que $$\frac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!}=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\,\frac{2n+1}{2n+2}\le \frac1{\sqrt{2n+1}}\,\frac{2n+1}{2n+2},$$ por lo que basta con demostrar que $$\frac1{\sqrt{2n+1}}\,\frac{2n+1}{2n+2}\le \frac{1}{\sqrt{2n+3}}\iff\sqrt{2n+1}\sqrt{2n+3}\le 2n+2.$$ No debería ser demasiado difícil terminar el paso inductivo.

Answer 3

$$\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=\frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!}\le \frac{2n-1}{2n\sqrt{2(n-1)+1}}=\frac{2n-1}{2n\sqrt{2n-1}}= \frac{\sqrt{2n-1}}{2n}$$

Ahora para demostrar que $\frac{\sqrt{2n-1}}{2n}\le \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$ demostramos que $\frac{1}{\sqrt{2n+1}}-\frac{\sqrt{2n-1}}{2n}\ge 0$ :

$$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}-\frac{\sqrt{2n-1}}{2n}=\frac{2n-\sqrt{2n-1}\sqrt{2n+1}}{2n\sqrt{2n+1}}=\frac{2n-\sqrt{4n^2-1}}{2n\sqrt{2n+1}}\ge \frac{2n-\sqrt{4n^2}}{2n\sqrt{2n+1}}=0$$