$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^3 x}{x^3} \, dx$ utilizando la integración de contornos.

Question

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin^3{x}}{x^3}dx$ utilizando la integración de contornos. Sugerencia: Utilice esta continuación analítica: $h(z) = -\frac{e^{3iz}-3e^{iz}}{4z^3}-\frac{1}{2z^3}$ y luego tomar la parte imaginaria.

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1. He utilizado la definición exponencial compleja de $\sin$ para demostrar que $\frac{\sin^3{x}}{x^3} = \operatorname{Im}\left(\frac{e^{3ix}-3e^{ix}}{-4x^3}\right)$ . Por lo tanto, realmente sólo me interesa el primer término de $h(x)$ por mi resultado.

2. Utilicé un contorno que se muestra en rojo: dos semicírculos concéntricos con radios $R$ y $r$ . El de radio $R$ dejé que se expandiera hasta el infinito, mientras que el de radio $r$ Dejé que se redujera a cero.

3. Yo sostengo que en $\gamma_R$ la integral desaparece porque tanto los términos exponenciales como el $1/z^3$ tienden a cero a medida que $R$ aumenta, y, la integral sobre $\gamma_r$ desaparece también ya que los términos exponenciales tienden a 1 ar $r$ llega a cero. Finalmente, la integral total es cero por Cauchy.

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^3{x}}{x^3} \, dx = \operatorname{Im} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{e^{3ix}-3e^{ix}}{-4x^3}\right) \, dz$$

Integro mediante el uso de la continuación analítica insinuada:

$$\begin{align*} &\int_{\gamma} \left(-\frac{e^{3iz}-3e^{iz}}{4z^3}-\frac{1}{2z^3}\right) \, dz \\ &\quad= \operatorname{v.p.} \int_{-\infty}^{\infty} \left(\frac{e^{3ix}-3e^{ix}}{-4x^3}-\frac{1}{2x^3}\right) \, dz \\ &\hspace{3em} + \int_{\gamma_R} \left(-\frac{e^{3iz}-e^{iz}}{4z^3}-\frac{1}{2z^3}\right) \, dz + \int_{\gamma_r} \left(-\frac{e^{3iz}-3e^{iz}}{4z^3}-\frac{1}{2z^3}\right)dz \\ &\quad= 0 \end{align*}$$

4. Sólo quiero la integral del primer término de $h(x)$ , trasladé las integrales de $1/x^3$ al otro lado y los integró para obtener el cero de nuevo.

$$\operatorname{v.p.} \int_{-\infty}^{\infty} \left(\frac{e^{3ix}-3e^{ix}}{-4x^3}\right) \, dz = \operatorname{v.p.} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2x^3}dx = 0$$

La respuesta correcta debería ser $3\pi/4$ que se da en las soluciones, y lo he confirmado con wolfram alpha. Sin embargo, he estado mirando mi método durante horas, y no puedo encontrar lo que no se comprueba.

En caso de que algo no esté claro, o si he cometido alguna errata, también proporciono una imagen de mi trabajo.

Answer 1

Considere la función

$$g(z) = - \frac{e^{3iz} - \bbox[color:red;padding:3px;border:1px red dotted;]{3}e^{iz}}{4z^3} - \frac{1}{2z^3}.$$

Entonces tenemos $\operatorname{Im}(g(x)) = \frac{\sin^3 x}{x^3}$ de verdad $x$ . Ahora usando el contorno de OP y aplicando el teorema de integración de Cauchy,

$$\begin{align*} 0 &= \int_{\gamma} g(z) \, \mathrm{d}z \\ &= \int_{[-R,-r]\cup[r,R]} g(z) \, \mathrm{d}z + \int_{\gamma_r} g(z) \, \mathrm{d}z + \int_{\gamma_R} g(z) \, \mathrm{d}z. \end{align*}$$

1. Como $R \to \infty$ como argumentó OP, podemos demostrar que $\int_{\gamma_R} g(z) \, \mathrm{d}z \to 0$ .

2. Utilizando la expansión en serie de potencias de la función exponencial, no es difícil comprobar que $g(z)$ tiene un polo simple en $z = 0$ con

   $$\mathop{\mathrm{Res}}_{z=0} g(z) = \frac{3}{4}.$$

   Dado que el cambio de argumento a lo largo del camino $\gamma_r$ es $-\pi$ utilizando el lema conocido (o simplemente sustituyendo $z = re^{i\theta}$ donde $\theta$ varía de $\pi$ a $0$ y dejar que $r \to 0^+$ ), se deduce que

   $$\lim_{r \to 0^+} \int_{\gamma_r} g(z) \, \mathrm{d}z = -\pi i \mathop{\mathrm{Res}}_{z=0} g(z) = -\frac{3\pi i}{4}.$$

Por lo tanto, se deduce que

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^3 x}{x^3} \, \mathrm{d}x = \lim_{\substack{r \to 0^+ \\ R \to \infty}} \operatorname{Im}\left( \int_{[-R,-r]\cup[r,R]} g(z) \, \mathrm{d}z \right) = \operatorname{Im}\left(\frac{3\pi i}{4}\right) = \frac{3\pi}{4}.$$

A la luz de esta solución, podemos darnos cuenta de lo que ha fallado en la solución de OP:

• Con la función $h(z)$ dado en la pista, tenemos $\operatorname{Im}(h(x)) \neq \frac{\sin^3}{x^3}$ .

• OP hizo una afirmación incorrecta de que la contribución de $\int_{\gamma_r} g(z) \, \mathrm{d}z$ se desvanece como $r \to 0^+$ Cuando, de hecho, puede contribuir a la respuesta final.

Answer 2

He aquí un enfoque alternativo que también es bastante sencillo. $$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty\frac{\sin^3(x)}{x^3}\,\mathrm{d}x &=\int_{-i-\infty}^{-i+\infty}\frac{\sin^3(z)}{z^3}\,\mathrm{d}z\tag1\\ &=\frac i8\int_{-i-\infty}^{-i+\infty}\frac{e^{3iz}-3e^{iz}+3e^{-iz}-e^{-3iz}}{z^3}\,\mathrm{d}z\tag2\\ &=\frac i8\int_{\gamma_+}\frac{e^{3iz}-3e^{iz}}{z^3}\,\mathrm{d}z+\frac i8\int_{\gamma_-}\frac{3e^{-iz}-e^{-3iz}}{z^3}\,\mathrm{d}z\tag3\\ &=-\frac{2\pi}8\frac{(3i)^2-3i^2}2\tag4\\[3pt] &=\frac{3\pi}4\tag5 \end{align}$$ Explicación:
$\text{(1)}$ la integral a lo largo de $[-\infty,\infty]$ es la misma que a lo largo de $[-i-\infty,-i+\infty]$
$\phantom{\text{(1): }}$ ya que las integrales a lo largo de $[R,R-i]$ y $[-R-i,-R]$ ambos se desvanecen como $R\to\infty$
$(2)$ : $\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
$(3)$ : $\gamma_+=[-R-i,R-i]\cup Re^{+i[0,\pi]}-i$ y
$\phantom{\text{(3): }}$$\gamma_-=[-R-i,R-i]\cup Re^{-i[0,\pi]}-i$
$\phantom{\text{(3): }}$ donde las integrales a lo largo de los arcos circulares desaparecen como $R\to\infty$
$(4)$ la integral es $2\pi i$ veces la suma de los residuos dentro de $\gamma_+$
$\phantom{\text{(4): }}$ no hay singularidades en el interior $\gamma_-$
$\phantom{\text{(4): }}$ el residuo de $\frac{e^{i\lambda z}}{z^3}=-\frac{\lambda^2}2$
$(5)$ : simplificar