Si $G$ es abeliano, demuestre que el conjunto de elementos de orden finito de $G$ es un subgrupo de $G$

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo abeliano. Demostrar que $ H = \{g\in G : |g| < \}$ es un subgrupo de $G$ . Por |g| denotamos el orden del elemento $g \in G$ .

Prueba: Denota por $e \in G$ el elemento neutro en $G$ (que trivialmente se encuentra en $H$ ). Ahora dejemos que $a,b \in H $ y asumir que $|a| = m$ y $|b| = n$ . Entonces, porque $G$ es abeliano tenemos

$$(ab)^{mn} = a^{mn}b^{mn} = (a^m)^n(b^n)^m = e*e = e $$

Por lo que se deduce que $ab \in H$ .

¿Puede alguien ayudarme a probar $a^{-1} $ para cualquier elemento $a \in H$ para concluir $H$ es un subgrupo de $G$ .

Muchas gracias.

Answer 1

Bueno, dejemos que $a \in H$ . Como en su pregunta, $a$ tiene un orden finito, es decir $\vert a\vert = m$ para algunos $m \in \mathbb N$ . Entonces se sostiene que $a^{m-1}*a = a^m = e$ y por lo tanto $a^{-1} = a^{m-1}$ . Como ya ha demostrado el cierre de $H$ bajo la multiplicación, se deduce (inductivamente) que $a^{m-1} \in H$ y por lo tanto $a^{-1} \in H$ .

Answer 2

Sugerencia El truco utilizado en el enunciado de la pregunta para demostrar el cierre bajo la multiplicación sugiere una táctica similar:

Supongamos que $a \in H$ tiene orden $n$ y evaluar $(aa^{-1})^n$ de dos maneras.

Answer 3

Primera crítica : ¿Por qué dices "suponer"? $e\in G$ "? ¿No es $e$ se supone que es el elemento de identidad de $G$ ?

Segunda crítica : No has demostrado que $e\in H,$ todavía (aunque esto es sencillo), así que ¿cómo puede concluir que $ab\in H$ ?

Sugerencia : Se puede demostrar que para cualquier grupo $G$ y cualquier $a\in G,$ tenemos $|a|=\left\lvert a^{-1}\right\rvert.$

Answer 4

Consideremos el subgrupo cíclico generado por $g$ que tiene un orden finito $n$ . Por una simple aplicación de Lagrange cada elemento de ese subgrupo tiene un orden que divide $n$ por lo que el orden es finito.